《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 例1求通数一二的莲埃区同间和同新点 解D,=[-1,1)U(1,2)U(2,3)U(3,+o) fx)的连续区间为：【-1,1)、(1,2)、(2,3)和(3，+0). 间断点为：x=1,2和3.(f(x)在点x=-1右连续). 三、利用初等函数的连续性可计算极限 求极限的指数法则若)=a>0,▣)=b,则)=a>0 证明如果(，()在点连续，且，)>0，则x)=ea在点连续，补充定义 )=a,)=b,则m)=a 上述段限过程当气=橘-时防度立只要利用安换就行了，例：点+如宁中 我们注意到0+如宁=0+s如马 ,很容易得到它趋向于e,当x→+o时. ∫连续~∫与四可交换： i f(x)=f(x)=f(lim x mf(ox》=f(mp(x》=f(ox》 倒2求h+). x 例3求回 4=-回 (作倒代换1=上) 例5m+g产 解I=m+g)-m+g)eFr=e=e 例6msnr+1-sin 解sn+i-sG=2sar+-Ecos++区 2 2 《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 3 例 1 求函数 ln 2 1 ( ) − + = x x f x 的连续区间和间断点. 解 = [−1,1)  (1, 2 )  ( 2 , 3 )  ( 3, +  ). Df  f (x) 的连续区间为: [−1,1) 、(1, 2 ) 、( 2 , 3 ) 和 ( 3, +  ) . 间断点为: x = 1, 2 和 3. ( f (x) 在点 x = −1 右连续 ) . 三、利用初等函数的连续性可计算极限 求极限的指数法则 若 lim ( ) 0 0 =  → u x a x x , v x b x x = → lim ( ) 0 ,则 lim ( ) 0 ( ) 0 =  → v x b x x u x a . 证明 如果 u(x), v(x) 在 0 x 点连续,且 u(x0 )  0 ,则 ( ) ( )ln ( ) ( ) v x v x u x u x = e 在 0 x 点连续,补充定义 u(x0 ) = a , v(x0 ) = b ,则 v x b x x u x = a → ( ) lim ( ) 0 . 上述极限过程当 x0 = +, −  时仍成立,只要利用变换 t x 1 = 就行了,例如： x x x ) 1 lim (1+ sin →+ 中 我们注意到 x x x x x x 1 1 sin 1 sin 1 ) 1 ) (1 sin 1 (1 sin  + = + ,很容易得到它趋向于 e ,当 x → + 时. f 连续  f 与 0 lim x→x 可交换： lim ( ) ( ) (lim ) 0 0 0 f x f x f x x→x x→x = = ； lim ( ( )) (lim ( )) ( ( )) 0 0 0 f x f x f x x x x x  =  =  → → . 例 2 求 0 ln(1 ) lim x x → x + . 例 3 求 2 0 ln(1 ) lim cos x x → x + . 例 4 . 1 1 1 1 lim 0         + − − → + x x x x x ( 作倒代换 . ) 1 x t = 例 5 lim (1 ) . sec 0 xctgx x + tgx → 解 I = lim((1 ) ) (lim(1 ) ) . 1 limsec 0 sec 0 0 tgx tgx e e x ctgx x x ctgx x + = + x→ = = → → 例 6 lim (sin x 1 sin x ). x + − →+ 解 sin x +1 − sin x = . 2 1 cos 2 1 2sin x + − x x + + x