《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 定义0=1.若2为无理数，定义0一即0,9为有理致 这里需说明sp存在：当9为有理数时，a是单调上升的，即4< a 时，=a>1,>g,所以即存在 最后无论x为有理数还是无理数，都有=即Q,g为有理数 命题f=a严格上升，在（←∞，+∞）上连续， 证明设x<x2,3有理数91,92，使得x≤4<42≤x2,由此 a=spa'≤am<a≤spa”=a ,∈(-0+四)，8>0,3N,使得a<1+8),取9,9有理数，使得9<x<:, 4:-g=N,则fx,s+0)sa,f,)2f。-0)2a Is f(x+0)a =a=a<1+ fx。-0)am 所以f(x+0)=f-0)=fxo)=a 指数函数还有性质aa=a5. 命题对数函数y=log∈C(0,+o), 证明x=a'在(-0，+o)上严格上升，连续，其值域为(0，+o),所以其反函数y=log。x在 (0,+)也严格上升，连续 命题幂函数y=x“=eanr∈C(0,+o) 证明它是指数函数和对数函数：=ahx的复合函数，每个函数都连续，它们的复合也 连续。 (二)结论 定理4.12一切基本初等函数都是其定义域上连续函数. 定理4.13任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数. 注初等函数的连续区间和间断点：初等函数的间断点是其连续区间的开端点。闭端点 是其单侧连续点。《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 2 定义 1 0 a = . 若  为无理数,定义 a a q q为有理数 q sup ,    = . 这里需说明 sup 存在：当 q 为有理数时 , q a 是单调上升的 , 即 q1  q2 时, 1 2 1 1 2 =  q −q q q a a a , q2 q1 a  a ,所以 sup 存在. 最后无论 x 为有理数还是无理数,都有 a a q q 为有理数 q x x sup ,  = . 命题 x f (x) = a 严格上升,在 (−,+) 上连续. 证明 设 1 2 x  x ,  有理数 1 2 q , q ,使得 1 1 2 2 x  q  q  x , 由此 2 2 1 2 1 1 sup sup q x q x q q q q x x a = a  a  a  a = a   . ( , ) x0  − + ,   0 , N , 使得 N a  (1+  ) ,取 1 2 q , q 有理数,使得 1 0 q2 q  x  , N q q 1 2 − 1 = , 则 2 ( ) ( 0) 0 0 q f x  f x +  a , 1 ( ) ( 0) 0 0 q f x  f x −  a ,  = =  +  − +  − 1 ( 0) ( 0) 1 1 0 0 2 1 1 2 q q N q q a a a a f x f x , 所以 0 ( 0) ( 0) ( ) 0 0 0 x f x + = f x − = f x = a . 指数函数还有性质 1 2 1 2 x x x x a a a + = . 命题 对数函数 y = log x C(0,+ ) a . 证明 y x = a 在 (−,+) 上严格上升,连续,其值域为 (0,+ ) ,所以其反函数 y x a = log 在 (0,+ ) 也严格上升,连续. 命题 幂函数 (0, ) ln y = x = e C +    x . 证明 它是指数函数 z e 和对数函数 z =ln x 的复合函数,每个函数都连续,它们的复合也 连续. (二) 结论 定理 4.12 一切基本初等函数都是其定义域上连续函数. 定理 4.13 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数. 注 初等函数的连续区间和间断点: 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 闭端点 是其单侧连续点