《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 §3初等函数的连续性 教学章节：第四章连续函数一一§3初等函数的连续性. 教学目标：知道所有初等函数都是在其有定义的区间上连续的函数，并能够加以证明。 教学要求：深刻理解初等函数在其定义的区间上都是连续的，并能应用连续性概念以及连续函数 的性质加以证明，能熟练运用这一结论求初等函数的极限。 教学重点：初等函数的连续性的阐明. 教学难点：初等函数连续性命题的证明。 教学方法：学导式教学 散学过程： 一、复习（关于初等函数） (一)初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数 (二)基本初等函数： 常量函数y=C: 幂函数y=x“: 指数函数y=d(a>0,a≠)： 对数函数y=log。xa>0,a≠)： 三角函数y=sinx,cosx,g,cg; 反三角函数y=arcsinx,arccosx,arcg,arcctgx 二、初等函数的连续 (一）指数函数a、对数函数log。x和幂函数x连续性 引理设a>L,n>1为正整数，则31b>1,使a=b”,由此我们可以定义b=a】 证在区间几，d上考虑函数f)=xeCl,d,且f0=1<a<a=f@). Bolzano-Cauchy第二定理给出beL,a,使a=b, 如果=a,即6”=a,b”=b,由函数f)=x严格单调，推出6=b,即唯一性. 定义者片（以正整数.互素）为正有理数.=r.若9为负有果数.” a9, 《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 1 §3 初等函数的连续性 教学章节：第四章 连续函数——§3 初等函数的连续性. 教学目标：知道所有初等函数都是在其有定义的区间上连续的函数,并能够加以证明. 教学要求：深刻理解初等函数在其定义的区间上都是连续的,并能应用连续性概念以及连续函数 的性质加以证明,能熟练运用这一结论求初等函数的极限. 教学重点：初等函数的连续性的阐明. 教学难点：初等函数连续性命题的证明. 教学方法：学导式教学. 教学过程： 一、 复习（关于初等函数） (一) 初等函数: 由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数. (二) 基本初等函数： 常量函数 y C= ； 幂函数 y x  = ； 指数函数 ( 0, 1) x y a a a =   ； 对数函数 log ( 0, 1) a y x a a =   ； 三角函数 y x x tgx ctgx = sin ,cos , , ； 反三角函数 y x x arctgx arcctgx = arcsin ,arccos , , . 二、初等函数的连续 (一) 指数函数 x a 、对数函数 x a log 和幂函数  x 连续性 引理 设 a  1, n  1 为正整数,则   ! 1 b , 使 n a = b .由此我们可以定义 n b = a . 证 在区间 [1, a] 上考虑函数 f (x) x C[1, a] n =  , 且 f (1) 1 a a f (a) n =   = . Bolzano-Cauchy 第二定理给出 b [1, a] ,使 n a = b . 如果 n b = a ,即 b a n  = , n n b = b ,由函数 n f (x) = x 严格单调,推出 b = b ,即唯一性. 定义 若 n m q = （ m, n 正整数,互素）为正有理数, q n m a = ( a) . 若 q 为负有理数, q q a a − = 1