1.设二阶方阵开始，设二阶方阵的系数矩阵为A口]，只用第三类初等变换来 c d 消元。所得的行阶梯矩阵为：U=厂口，6 0 d-b*cla ,对角项（主元）的连乘积D不为零， 得到 D=ad-bc0 这个D=ad-bc就称为矩阵A的行列式。 可见，二阶线性方程组主元的连乘积就等于行列式。如果用矩阵的下标来标注元素， 其行列式为D-a,a2a1a21 2..三阶方程组的行列式 设三阶方程组的系数矩阵为 A=azazaz [a3 an a 则只用第三类初等变换的高斯消元法求得其上三角矩阵如下： ap U=0 (ana-2aa)/an a-aaa 00(a1anagtaagd31ta1a2aa1gana1ana2ra9aaxg0n/(aanaza2i月 要求三个对角元素的连乘积不为零。结果为： anan a D=4u4242g=a44g+aag41+ag402-44a41-a44g-a4s42≠0 可见用主元连乘积也同样可定义三阶系数矩阵的行列式·为了使行列式的值具有唯一 性，必须限定消元变换中不使用第 一类（会改变正负号）和第二类（会改变乘数）初等变换 3.向高阶行列式的演绎 由此可以推想，将N阶系数方阵用高斯消元法变 换为上三角方阵，其对角线上所有主元的连乘积就是 「乃1*…** 该方阵的行列式，即D=BP2…Pm。我们已经知 U= 0P2…*◆ ……… 道，消元法解方程时，若主元不等于零，解就存在并 可用除法求得。所以，在这个定义下，判断行列式是 L000Pm:*」 否为零与判断诸主元是否为零是等价的。反过来说，用消元法如能求出方程组的解，则此方 程组系数矩阵的主元，因而行列式必不等于零，再用行列式去判解是多此一举。 许多数学书上对此定义方法早有定论。比如在中明确地 指出主元连乘积法是现有的 行列式的三种定义方法之一。不知什么原因，得不到重视。中国直到2012年游宏教授的教 材2]中才首次见到其推导证明。 三、 高阶行列式的三种定义方法2 1．设二阶方阵开始，设二阶方阵的系数矩阵为 a b c d   =     A ，只用第三类初等变换来 消元，所得的行阶梯矩阵为： 0 - * / a b d b c a   =     U ，对角项（主元）的连乘积 D 不为零， 得到 D=ad-bc≠0 这个 D=ad-bc 就称为矩阵 A 的行列式。 可见，二阶线性方程组主元的连乘积就等于行列式。 如果用矩阵的下标来标注元素， 其行列式为 D=a a -a a 11 22 12 21 。 2．.三阶方程组的行列式 设三阶方程组的系数矩阵为 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a     =       A 则只用第三类初等变换的高斯消元法求得其上三角矩阵如下： ( ) ( ) 11 12 13 11 22 12 21 11 23 13 21 11 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 11 22 12 21 a a a 0 a a -a a /a a -a a /a 0 0 (a a a +a a a +a a a -a a a -a a a -a a a )/ a a -a a     =       U 要求三个对角元素的连乘积不为零。结果为： 11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 31 32 33 0 a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = = + + − − −  可见用主元连乘积也同样可定义三阶系数矩阵的行列式。为了使行列式的值具有唯一 性，必须限定消元变换中不使用第一类（会改变正负号）和第二类（会改变乘数）初等变换。 3. 向高阶行列式的演绎 由此可以推想，将 N 阶系数方阵用高斯消元法变 换为上三角方阵，其对角线上所有主元的连乘积就是 该方阵的行列式，即 D p p p = 11 22 nn 。我们已经知 道，消元法解方程时，若主元不等于零，解就存在并 可用除法求得。所以，在这个定义下，判断行列式是 否为零与判断诸主元是否为零是等价的。反过来说，用消元法如能求出方程组的解，则此方 程组系数矩阵的主元，因而行列式必不等于零，再用行列式去判解是多此一举。 许多数学书上对此定义方法早有定论。比如在[1]中明确地指出主元连乘积法是现有的 行列式的三种定义方法之一。不知什么原因，得不到重视。中国直到 2012 年游宏教授的教 材[2]中才首次见到其推导证明。 三、 高阶行列式的三种定义方法 11 22 0 * 0 0 0 nn p p p            =        U