可以认为三种高阶行列式定义方法都是从二、三阶行列式从形式上向上演绎而得出的。 显式法是从各元素下标的排列组合规律向上演绎，代数余子式法是从矩阵按行展开的规则进 行演绎，而主元连乘积法则是从消元法所得上三角矩阵向上演绎的 1.显式法：按照这个定义，n×n矩阵的行列式中每一项将由不同行不同列的n个矩阵 元素乘积组成（即要做！次乘法），这些项应该能覆盖所有可能的排列方式，根据排列理论 行列式将有N=nl项相加。即使n=10,N将达3628800，而需要的乘法次数为n×(m-1)1之多， 而每顶的正负号将由这项下标排列的逆序者决定，还需要更多的计算量。所以思式法也私 为‘大公式”法 显式法中的逆序和列计数对非数学系的大学新生往往是拦路虎。而它的 运算量 仅超越 人们笔算可能性 也超越了计算机的能力 个25阶 的行列式若按这 大公式来算，用每秒1万亿次的超级计算机，也要算1200万年才能得出结果。这种现象在 计算数学上称为“维数灾难”。所以它的主要用途是数学推理，搞数学的当然不可缺少，但 在应用上并没有多少价值。 之代煮金子式法男路是格心在的行列试化达个X蚊的 (考虑正负号后称为代数 子式) 的线性组 可以减少高阶行列 逐级综合，就可由-1阶行列式向上定义阶行列式。因为二阶行列式要两次乘法，按照 个方法，三阶行列式要三个二阶行列式的线性组合，即要3升3*2=9次乘法，四阶行列式要 4+4*9=40次乘法，…依此类推，当n很大时，要算的是nl个二阶行列式的线性组合，近似 为2m次乘法。因此，这种方法的计算量与显式法相差不大，其主要好处是可以避开逆序定 义和排列组合理论，但不可能成为有实用计算价值的方法。 3.主元连乘法 它的核心是高斯消元法，通过等价变换消元，将系数矩阵化为上三角 阵，然后把主对角线上n个主元连乘：得到行列式。这种定义的运算量己经在消元法中讨论 过，实现上三角矩阵所需的计算量约为Nn3,n=10时，N-333次，n=25时，Ns5200, 用现有的微机可以在微秒级的时间内完成。求行列式只要做一个n元的连乘，其运算量可忽 略不计。它的另一个好处是把方程组求解和求系数行列式在同一个运算过程用同一个程序来 也就是把判解（的存在 一性)和求解统 一起来，实际上所有数学软件计算行列式 都采用这种方法。用MAAB为例，只用两条语句： [L.Ulu(A): %对方阵A做LU分解 D=prod(diag(U)%U的主对角线元素连乘积即为A的行列式 行列式的三种定义方法所需乘法次数列表如下 阶数N 23 5 10 25 高斯消元法求主元N3 31121 41 333 5208 消元法求行列式N3+N-141324 342 5233 代数余子式法求行列式≈2N!29 057257600 .1022e+025 显式法求行列式N1)N2 480 326592003.7227e+026 从此表可以看出，只有N=2时，用显式法判解才比消元法方便。=3时，两者的计算 基本相同。>3时，N每加一，用显式法定义的计算量成十倍地增长。代数余子式法计算量 与显式法基本相同，只有消元法的计算量最小，而且不引进其他新概念，理应作为高阶行列 式计算的首选。对于非数学类的学生 应该教他们走 条比 平坦好走的路走到目标，没必 要选一条难走的悬崖峭壁让大家去攀爬，因而又得去学习各种攀登的技巧和工具，人为地给 咪程增加了难度。 四、 行列式性质教法的改变 采用主元连乘法讲行列式后，逆序数、排列组合，代数余子式、矩阵按行展开，件随矩 阵等许多概 可以 那样是不是会影响 理解行列式的性质呢？初步的探索证明 3 3 可以认为三种高阶行列式定义方法都是从二、三阶行列式从形式上向上演绎而得出的。 显式法是从各元素下标的排列组合规律向上演绎，代数余子式法是从矩阵按行展开的规则进 行演绎，而主元连乘积法则是从消元法所得上三角矩阵向上演绎的。 1．显式法：按照这个定义，n×n 矩阵的行列式中每一项将由不同行不同列的 n 个矩阵 元素乘积组成(即要做 n-1 次乘法)，这些项应该能覆盖所有可能的排列方式，根据排列理论， 行列式将有 N=n!项相加。即使 n=10，N 将达 3628800，而需要的乘法次数为 n×(n-1)!之多， 而每项的正负号将由这 n 项下标排列的逆序数决定，还需要更多的计算量。所以显式法也称 为‘大公式’法。显式法中的逆序和排列计数对非数学系的大学新生往往是拦路虎。而它的 运算量不仅超越了人们笔算可能性，也超越了计算机的能力。一个 25 阶的行列式若按这个 大公式来算，用每秒 1 万亿次的超级计算机，也要算 1200 万年才能得出结果。这种现象在 计算数学上称为“维数灾难”。所以它的主要用途是数学推理，搞数学的当然不可缺少，但 在应用上并没有多少价值。 2．代数余子式法，其思路是将 n×n 矩阵的行列式化为 n 个(n-1)×(n-1)较小的行列式 （考虑正负号后称为代数余子式）的线性组合。逐级分解，可以减少高阶行列式的计算量； 逐级综合，就可由 n-1 阶行列式向上定义 n 阶行列式。因为二阶行列式要两次乘法，按照这 个方法，三阶行列式要三个二阶行列式的线性组合，即要 3+3*2=9 次乘法，四阶行列式要 4+4*9=40 次乘法，…依此类推，当 n 很大时，要算的是 n!个二阶行列式的线性组合，近似 为 2n!次乘法。因此，这种方法的计算量与显式法相差不大，其主要好处是可以避开逆序定 义和排列组合理论，但不可能成为有实用计算价值的方法。 3．主元连乘法，它的核心是高斯消元法，通过等价变换消元，将系数矩阵化为上三角 阵，然后把主对角线上 n 个主元连乘；得到行列式。这种定义的运算量已经在消元法中讨论 过，实现上三角矩阵所需的计算量约为 N≈n 3 /3，n=10 时，N=333 次，n=25 时，N≈5200， 用现有的微机可以在微秒级的时间内完成。求行列式只要做一个 n 元的连乘，其运算量可忽 略不计。它的另一个好处是把方程组求解和求系数行列式在同一个运算过程用同一个程序来 完成，也就是把判解（的存在唯一性）和求解统一起来，实际上所有数学软件计算行列式时 都采用这种方法。用 MATLAB 为例，只用两条语句： [L,U]=lu(A); % 对方阵 A 做 LU 分解 D=prod(diag(U)) % U 的主对角线元素连乘积即为 A 的行列式 行列式的三种定义方法所需乘法次数列表如下 阶数 N 2 3 4 5 10 25 高斯消元法求主元 N3 /3 3 11 21 41 333 5208 消元法求行列式 N3 /3+ N-1 4 13 24 45 342 5233 代数余子式法求行列式≈2N! 2 9 40 205 7257600 3.1022e+025 显式法求行列式 (N-1)N! 2 12 72 480 32659200 3.7227e+026 从此表可以看出，只有 N=2 时，用显式法判解才比消元法方便。N=3 时，两者的计算量 基本相同。N>3 时，N 每加一，用显式法定义的计算量成十倍地增长。代数余子式法计算量 与显式法基本相同，只有消元法的计算量最小，而且不引进其他新概念，理应作为高阶行列 式计算的首选。对于非数学类的学生，应该教他们走一条比较平坦好走的路走到目标，没必 要选一条难走的悬崖峭壁让大家去攀爬，因而又得去学习各种攀登的技巧和工具，人为地给 课程增加了难度。 四、 行列式性质教法的改变 采用主元连乘法讲行列式后，逆序数、排列组合、代数余子式、矩阵按行展开、伴随矩 阵等许多概念都可以不讲，那样是不是会影响学生理解行列式的性质呢？初步的探索证明