高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 定理1（必要条件）设函数z=f(x,y)在点(xo,y)具有偏导数，且在点(xo,yo)处 有极值，则它在该点的偏导数必然为零： f(xo,Yo)=0,f (xo,yo)=0 证不妨设z=f(x,y)在点(x。,y。)处有极大值.依极大值的定义，在点(xo,y。)的某 邻域内异于(x。,y)的点都适合不等式 f(x,y)<f(xo,vo) 在该邻域内取y=y,而x≠x的点，也应适合不等式f(x,y)<f(x,y). 这表明一元函数f(x,y)在x=x。处取得极大值，因此必有f(xo,yo)=0. 类似地可证f,(xo,yo)=0. 从几何上看，这时如果曲面z=f(x,y)在点(xo,yo,2o)处有切平面，则切平面 z-20=f(xo,yo)(x-xo)+f(xo,yo)(y-yo) 成为平行于xOy坐标面的平面z-2。=0. 凡是能使f(x,y)=0,f,(x,y)=0同时成立的点(xo,yo)称为函数z=f(x,y)的驻 点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点.但是函数的驻点不一定是极值 点。这里的极值点与驻点的定义以及极值的必要条件都不难推广到二元以上的多元函 数 怎样判定一个驻点是否是极值点呢？ 定理2（充分条件）设函数z=x,y)在点(x0,y%)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数， 又fx0o)=0,f(x0,o)=0,令 f(xo,yo)=A,f(xo,yo)=B,xo,yo)=C, 则f(x,y)在(xo,o)处是否取得极值的条件如下： (1)AC-B>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值； (2)AC-B<0时没有极值； (3)AC-B-0时可能有极值，也可能没有极值 在函数x,y)的驻点处如果f人x人一fw2>0,则函数具有极值，且当fx<0时有极大值，当 f>0时有极小值. -2-