高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 第八节多元函数的极值及其求法 教学内容：多元函数极值的定义，多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法。 教学目标：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求 极值方法，并能够解决实际问题.熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值. 教学重点：多元函数极值的求法。 教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学方法：新课讲授法 作业：p891,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12 教学过程： 一、多元函数的极值及最大值、最小值 1.多元函数的极值 定义设函数z=f(x,y)在点(xo,y。)的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于 (x,yo)的点，如果都适合不等式 f(x,y)<f(xo,yo)(f(x,y)>f(xo,yo)) 则称函数f(x,y)在点(xo,y)有极大值f(x,y)(或极小值f(xo,y)). 极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点： 例1函数z=3x2+4y2在点(0,0)处有极小值.因为对于点(0,0)的任一邻域内异于 (0,0)的点，函数值都为正，而在点(0,0)处的函数值为零.从几何上看这是显然的，因为 点(0,0,0)是开口朝上的椭圆抛物面z=3x2+4y2的顶点. 例2函数z=-√x2+y2在点(0,0)处有极大值.因为在点(0,0)处函数值为零，而对 于点(0,0)的任一邻域内异于(0,0)的点，函数值都为负，点(0,0,0)是位于xOy平面下方 的锥面z=-Vx2+y2的顶点。 例3函数z=xy在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小值.因为在点(0,0)处的 函数值为零，而在点(0,0)的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点