帮助大学低年级学生建立立体概念是大学教学计划中的重要一环，为此有制图、画法几何 多变量微积分、物理中场的演示、数学中的场论、电工中的复信号、电机中的旋转磁场等等多 门课程，说明三维空间的概念不是那末好建立的。线性代数本应该有责任帮助学生建立空间概 含，但现有教法知品化三维，村分强调N维空间。国外的各种面向工科的线性代数代委教材 都是以三维空间为主的，并且有大量的立体图辅助。中国教材强调N维，全是公式，没法画 图，很不利于学生接受。我们强调二、 三维，使例子形象化，并使图形作为建立概念的重要 具。利用三维空间向量的概念又可以推导出超定方程组的最小二乘解，为扩大线性代数的应用 领域起了很好的作用。 强化和讲透三维可通过许多应用实例来实现，例如在三维空间中如何认识欠定方程组和超 定方程组的解，如何认识和应用坐标变换、投影和QR分解等。N维只用于解方程组，不用于 向量空间，这也是和传统教材的区别。不是说N维不 重要，而是说要循序渐进，先感性积累 后理性抽象，按美国改革线性代数的第(W)点，N维应另设后续课程来讲。 五、弱化次定，加强超定。 欠定方程组是由于命题条件不足造成的，工程师可以拒绝处理，在强调解的存在和唯一性 的高等数学入门阶段，找不到基础解系的工程实例，不可能让学生理解其意义，在此让大学新 生花很多学时是太超前】 。超定 方程则是工程上常见的问，它来源于实践中不可避免的干扰 和测量误差，而且其证明又可加强向量空间概念。世界各国的教材都讲，只有我国的教材不讲 大量的应用命题就不会解。“大讲欠定，不讲超定”是我国线性代数教学脱离工程的突出表现。 有用的不讲，讲的却没用，浪费了很多课时，对工程应用完全没有帮助。 六、特征根的意义和解法不讲高阶，只讲到两阶为止，但实数和复数根都要讲。 实际上三阶及以上的特征根，多数老师都不会笔算，也没有 本教材讲它的求法。应该老 老实实告诉学生 三阶以上系统的特征值问题 手工解是不行的， 只有依靠计算机。 二次型 以只讲到二阶，高阶实二次型不但计算有难度，而且很难找其物理意义和几何模型，更谈不上 工程应用。而复数特征根却是工程中很有用的。它是理解振动问题的基础，它是学生在日常经 验中能够接受的。 采用了这些改革措施后，理论是大大减少了，新教2只用了100多而的篇幅。就打下了 初步的理论基础，足以解决所列举的几十个线性代数问题。这些问题中 的四分 用现在教 线性代数是很难解或解不出的，用最小的学习成本以获得最大的应用效果，这是内容改革的目 标。原有的线性代数书为什么解不了这些题呢？(1)因为不用计算机，表中十几个超过三阶 的题目就很难解，甚至无法解：即使是三阶题，手工解起来也是少慢差费：(2)因为空间概 今不清，对干空间多点共面性、刚体云动和华标变撩方面的颗日就感闲难：(3)因为不进招 定方程，几个超定命题也不 (4)不讲复数特征值，振动问题也不会解。可见我们删 的内容完全不影响学生解工程问题的能力，只是减少了工程上用不到（可惜考研有些还要）的 数学推演，增补的内容却都是有的放矢地提高了解决多种应用问题的能力。 需要说明的是，上述改革是针对大学生和工程师提出的理论上的最低要求，比较合适于学 时数0左右，培养目标为应用型、技能型的专业，并且不参加现在的考研。对于理工科中研 究型人才培养，除了达到最低要求外，要根据各专业的需要和大纲所给的学时，适当地加强 些理论以应付考研 但实践也要加强。对计算速度和精度的讨论、对 三维空间概念的强化 对 超定方程解法、对复数特征根、对应用问题的建模、对用MATLAB解题的能力、，总之， 在线性代数建模和实践环节上，都应该有适应工科需求的变革与加强。 参考文献 [1]A.Tucker.The Growing Importance of Linear Algebra in Undergraduate Mathematics,Resources for Teaching Linear Algebra.MAANote Series 42.199 ]陈怀踩，实用大众线性代数(MATLAB版)，西安电子科技大学出版社，2014年7月 帮助大学低年级学生建立立体概念是大学教学计划中的重要一环，为此有制图、画法几何、 多变量微积分、物理中场的演示、数学中的场论、电工中的复信号、电机中的旋转磁场等等多 门课程，说明三维空间的概念不是那末好建立的。线性代数本应该有责任帮助学生建立空间概 念，但现有教法却弱化三维，过分强调 N 维空间。国外的各种面向工科的线性代数优秀教材， 都是以三维空间为主的，并且有大量的立体图辅助。中国教材强调 N 维，全是公式，没法画 图，很不利于学生接受。我们强调二、三维，使例子形象化，并使图形作为建立概念的重要工 具。利用三维空间向量的概念又可以推导出超定方程组的最小二乘解，为扩大线性代数的应用 领域起了很好的作用。 强化和讲透三维可通过许多应用实例来实现，例如在三维空间中如何认识欠定方程组和超 定方程组的解，如何认识和应用坐标变换、投影和 QR 分解等。N 维只用于解方程组，不用于 向量空间，这也是和传统教材的区别。不是说 N 维不重要，而是说要循序渐进，先感性积累， 后理性抽象，按美国改革线性代数的第(v)点，N 维应另设后续课程来讲。 五、弱化欠定，加强超定。 欠定方程组是由于命题条件不足造成的，工程师可以拒绝处理，在强调解的存在和唯一性 的高等数学入门阶段，找不到基础解系的工程实例，不可能让学生理解其意义，在此让大学新 生花很多学时是太超前了。超定方程则是工程上常见的问题，它来源于实践中不可避免的干扰 和测量误差，而且其证明又可加强向量空间概念。世界各国的教材都讲，只有我国的教材不讲， 大量的应用命题就不会解。“大讲欠定，不讲超定”是我国线性代数教学脱离工程的突出表现。 有用的不讲，讲的却没用，浪费了很多课时，对工程应用完全没有帮助。 六、特征根的意义和解法不讲高阶，只讲到两阶为止，但实数和复数根都要讲。 实际上三阶及以上的特征根，多数老师都不会笔算，也没有一本教材讲它的求法。应该老 老实实告诉学生，三阶以上系统的特征值问题，手工解是不行的，只有依靠计算机。二次型可 以只讲到二阶，高阶实二次型不但计算有难度，而且很难找其物理意义和几何模型，更谈不上 工程应用。而复数特征根却是工程中很有用的。它是理解振动问题的基础，它是学生在日常经 验中能够接受的。 采用了这些改革措施后，理论是大大减少了，新教材[2]只用了 100 多页的篇幅，就打下了 初步的理论基础，足以解决所列举的几十个线性代数问题。这些问题中约四分之一用现在教的 线性代数是很难解或解不出的，用最小的学习成本以获得最大的应用效果，这是内容改革的目 标。原有的线性代数书为什么解不了这些题呢？（１）因为不用计算机，表中十几个超过三阶 的题目就很难解，甚至无法解；即使是三阶题，手工解起来也是少慢差费；（２）因为空间概 念不清，对于空间多点共面性、刚体运动和坐标变换方面的题目就感困难；（３）因为不讲超 定方程，几个超定命题也不会解；（４）不讲复数特征值，振动问题也不会解。可见我们删除 的内容完全不影响学生解工程问题的能力，只是减少了工程上用不到（可惜考研有些还要）的 数学推演，增补的内容却都是有的放矢地提高了解决多种应用问题的能力。 需要说明的是，上述改革是针对大学生和工程师提出的理论上的最低要求，比较合适于学 时数 30 左右，培养目标为应用型、技能型的专业，并且不参加现在的考研。对于理工科中研 究型人才培养，除了达到最低要求外，要根据各专业的需要和大纲所给的学时，适当地加强一 些理论以应付考研，但实践也要加强。对计算速度和精度的讨论、对三维空间概念的强化、对 超定方程解法、对复数特征根、对应用问题的建模、对用 MATLAB 解题的能力、...，总之， 在线性代数建模和实践环节上，都应该有适应工科需求的变革与加强。 参考文献： [1] A. Tucker, The Growing Importance of Linear Algebra in Undergraduate Mathematics, Resources for Teaching Linear Algebra. MAA Note Series 42, 1997 [2] 陈怀琛，实用大众线性代数（MATLAB 版），西安电子科技大学出版社，2014 年 7 月