量的应用问题属于欧几里得空间的坐标变换。把同类问题适当合并后，在本文末的附录中列举 了教材中近50个应用实例，给出了它们的阶数及特性。教材改革的理论选材，就是围绕这 些题目的需要组织起来的。 把高斯消元法解线性方程组作为全书的理论主线，把行列式也纳入这根主线上。尽 量去除不必要的紫 ,使理论单 化 (2)为了与计算机结合，要使学生建立计算复杂度和计算精度的概念，引入的方法和概 念都要把工程和计算可实现性摆在重要位置： (3)根据大一学生的水平，若重建立三维空间概念，不要求N难向量空间： 4进透适定和超定方程的MATLAB解法，弱化欠定方程的解，不讲基础解及解空间。 5)特征方程和特征根、 次型都只以二阶为主，但兼顾复数根， 这样组织的内容，与原有的数学系的线性代数就有了很大的不同，特别表现在以下方面。 三、行列式的定义和性质的讲法改革 我们发现，在所有的应用命题中，除了硬凑的求面积体积的题用到三阶行列式外，没有 个问顾直正要算三阶以上行列式的，花了很名学时进的各种行列式理论和方法意然没用处。原 因何在？这是因为用消元法解方程时，已经用主元都不为零判定了解的存在和唯一，不知不觉 中已用了主元连乘定义下行列式：不必另起炉灶，让学生 去学其他两种紫 货的高阶行列式定义 也用不到克拉默法则。主元连乘法是高斯消元的自然延伸，不引进新概念新名词，并可很容易 地证明行列式的各种有用的性质，也是软件编程的依据。 对于工程人才，数学定义和方法的可实现性是必须关注的问题。数值计算中通常用所需的 乘法次数来标志计算的复杂度，下表给出了行列式三种定义方法在不同阶数下的计算量比较 表3-1行列式日 种定义方法所需 阶数n 2345 10 25 1.悬式法（不含正负号计算）(-)n: 21272 480 326592003.72*1026 2.代数余子式法≈2 2940205 72576003.10*10°25 3。对角主元连乘法3 4132445342 5233 拿1,3两种方法所需的乘法次数加以比较，可以看出，只有=2时，用显式法求行列式才 比消元法方便。当n=10时，用显式法算的计算量为三千万次，主元连乘法才342次。n更大 时，两种老定义的运算量不仅超越了人们竿算可能性，也超越了计算机的能力。这种现象称为 se of Di e ality)”。在新定义下，不但计算量大 那些“逆疗 数 代数余子式、随伴矩阵 、行列式按行展开 等等只能给爱数学的人练练推导，根本 有实用价值。非数学系避开了这些“拦路虎”，可大大压缩篇幅，降低难度，何乐而不为呢。 不讲这些概念水平就低吗？其实这才是有水平：高屋建瓴，看透了传统定义的致命痼疾， 让后人别白费时间。经典的行列式定义出现最早，最繁琐，用绕它的公式也多，但只能推导不 能算：高斯消元法可直接得出行列式的主元连乘公式，计算很简单，有人就把简化说成水平低 r用 琐的 老定义加 推导来绕 ,非要繁才算高水 。好在到 了计算机时代，编程中自然会扬弃一切无用的中间环节。所以MATLAB中就没有这些繁琐过 时的术语及其子程序。当前全世界有几百万教学、科研和工程用户都在靠它解大规模、高难度 的线性代数问题，说明从应用出发，确实不需要这些概念。美国T的教材也不细讲这 术语，只通过 阶陈简单介绍了一下 好比，定义党手 工岩，要一尺一尺地爬。高斯法找到了筑台阶的办法，可以 级一级地走：计算机相当于发明缆车，可以一步到顶。根据非数学专业学生的基础和面临的实 际问题，该教什么是不言自明的。让少数数学系的学生练两天攀岩也许还有点道理，让千百万 非数学系的学生都去学攀岩，不坐缆车，实在讲不过去。 四、向量空间要讲透三维，减缩N维。量的应用问题属于欧几里得空间的坐标变换。把同类问题适当合并后，在本文末的附录中列举 了教材[2]中近 50 个应用实例，给出了它们的阶数及特性。教材改革的理论选材，就是围绕这 些题目的需要组织起来的。 (1) 把高斯消元法解线性方程组作为全书的理论主线，把行列式也纳入这根主线上。尽 量去除不必要的繁琐推导，使理论单一化； (2) 为了与计算机结合，要使学生建立计算复杂度和计算精度的概念，引入的方法和概 念都要把工程和计算可实现性摆在重要位置； (3) 根据大一学生的水平，着重建立三维空间概念，不要求 N 维向量空间； (4) 讲透适定和超定方程的 MATLAB 解法，弱化欠定方程的解，不讲基础解及解空间。 (5) 特征方程和特征根、二次型都只以二阶为主，但兼顾复数根。. 这样组织的内容，与原有的数学系的线性代数就有了很大的不同，特别表现在以下方面。 三、行列式的定义和性质的讲法改革 我们发现，在所有的应用命题中，除了硬凑的求面积体积的题用到三阶行列式外，没有一 个问题真正要算三阶以上行列式的，花了很多学时讲的各种行列式理论和方法竟然没用处。原 因何在？这是因为用消元法解方程时，已经用主元都不为零判定了解的存在和唯一，不知不觉 中已用了主元连乘定义下行列式；不必另起炉灶，让学生去学其他两种繁琐的高阶行列式定义， 也用不到克拉默法则。主元连乘法是高斯消元的自然延伸，不引进新概念新名词，并可很容易 地证明行列式的各种有用的性质，也是软件编程的依据。 对于工程人才，数学定义和方法的可实现性是必须关注的问题。数值计算中通常用所需的 乘法次数来标志计算的复杂度，下表给出了行列式三种定义方法在不同阶数下的计算量比较 表 3-1 行列式的三种定义方法所需乘法次数 阶数 n 2 3 4 5 10 25 1. 显式法(不含正负号计算) (n-1)n! 2 12 72 480 32659200 3.72*10^26 2. 代数余子式法≈2n! 2 9 40 205 7257600 3.10*10^25 3. 对角主元连乘法 n 3 /3 4 13 24 45 342 5233 拿 1,3 两种方法所需的乘法次数加以比较，可以看出，只有 n=2 时，用显式法求行列式才 比消元法方便。当 n=10 时，用显式法算的计算量为三千万次，主元连乘法才 342 次。n 更大 时，两种老定义的运算量不仅超越了人们笔算可能性，也超越了计算机的能力。这种现象称为 “维数灾难(Curse of Dimensionality)”。在新定义下，不但计算量大大缩减，那些“逆序 数、代数余子式、随伴矩阵、行列式按行展开、…”等等只能给爱数学的人练练推导，根本没 有实用价值。非数学系避开了这些“拦路虎”，可大大压缩篇幅，降低难度，何乐而不为呢。 不讲这些概念水平就低吗？其实这才是有水平：高屋建瓴，看透了传统定义的致命痼疾， 让后人别白费时间。经典的行列式定义出现最早，最繁琐，围绕它的公式也多，但只能推导不 能算；高斯消元法可直接得出行列式的主元连乘公式，计算很简单，有人就把简化说成水平低， 宁可用繁琐的老定义加上复杂的推导来绕圈子，非要繁才算高水平；这是荒唐的逻辑。好在到 了计算机时代，编程中自然会扬弃一切无用的中间环节。所以 MATLAB 中就没有这些繁琐过 时的术语及其子程序。当前全世界有几百万教学、科研和工程用户都在靠它解大规模、高难度 的线性代数问题，说明从应用出发，确实不需要这些概念。美国 MIT 的教材[3]也不细讲这些 术语，只通过二、三阶矩阵简单介绍了一下。 好比登山，老定义是靠手工攀岩，要一尺一尺地爬。高斯法找到了筑台阶的办法，可以一 级一级地走；计算机相当于发明缆车，可以一步到顶。根据非数学专业学生的基础和面临的实 际问题，该教什么是不言自明的。让少数数学系的学生练两天攀岩也许还有点道理，让千百万 非数学系的学生都去学攀岩，不坐缆车，实在讲不过去。 四、向量空间要讲透三维，减缩 N 维