论非数学类线性代数的内容改革 一如何用最浅显的理论解决更广泛的问题 西安电子科技大学陈怀琛hchchen1934vip.163.com 摘要：为了弄清线性代数中哪些理论是非数学类（下简称工科）学生必学的，采用了逆向思考的方 法，把后续课和工程中遇到的问题加以归纳，找到其最低限度需要的理论.。凡是后续课需要的，讲透加 强：凡是找不到直接需求的，即子省略；凡是能我到简明证法的，均予采纳.根据工科学生的特点，尽 量从具体到抽象，加强形象救学在理论证明中的作用。经过多年尝试，提出一些原则，并写出了教材以。 一、工科大学为什么要开线性代数课？ 1960年前后，线性代数进入美国大学数学系本科教学计划叫，以后修这门课的非数学系等 生却成了主流：三十年前中国的工科是没有线性代数课的，80年代起增设这门课。线性代数 为什么在近几十年如此风靡呢？不是它在理论上有新突破，而是在应用上的创新。1973年的 诺贝尔经济奖发给了Leontiff教授，因为他1949年首创用计算机解了54阶线性方程组：80 年代初，线性代数软件包LINPACK开发成功， 这样人们不需要精通矩阵求解的数学细节，就 可以解决大型复杂的线性代数命题，MATLAB也是用此软件包作为后台支撑的。线性代数不 再是少数理论尖子才能学会的秘笈，而成为非数学专业大学生都能掌握的计算工具。 现代社会对工科数学提出了更高的要求。钱学森先生在1989年写道：“今后对一个问题求 解可以全部让电子计算机去干，不需要人去一点一点尊。而直到今天，工科理科大学一二年级 的数学课是构筑在人自己去算这一要求上的。…所以理工科的数学课必须改革，数学课不是 为了学生学会自己去求解，而是为了学生学会让电子计算机去求解，学会理解电子计算机给出 的答案”。线性代数是数值计算的基础，不但该率先使用计算机、而且该由它推动其他数 学和工程问题的计算机化。 线性代数的重要性主要体现在它把愈来愈多的新领域与计算机联系起来，Leontiff获经济 奖说明，想用计算机解决问题就得学线性代数。这种“需求牵引”对非数学专业而言，体现在 用计算机求解高阶复杂的矩阵模型， 不是去手工推证课程内部的微观数学公式。它与原数学系 的指导思想相差很大，在实施中师生都提出了改革要求。 实践多年后，美国在1990年提出了线性代数作为公共课的五条改革建议：（①）线性代数课 程要面向应用，满足非数学专业的需要：（的它应该是面向矩阵的（不是面向向量空间）：（而） 它应该适应学生的水平和需要：(v)它应该利用最新的计算技术：(W)抽象内容应另设后续课程 来讲。这五条建议鲜明地指出了非数学系的线性代数与原有课程的重大区别。 “面向应用，满足非数学专业的需要”如何体现？ 要做到这一点，必须深入到非数学专业的实我中去，而用计算机解矩阵方程组是问题的核 心。作者从十多门后续工程与管理课程中找到了两百多个应用例题，归纳它们的共同需求。大 体情况是：(1)最多的是解高阶方程组：阶次为515，工程中可高至数千。类型则适定的最 多，超定的其次，欠定的极少见：(2)向量相关性：大部分题目涉及空间几何形状和运动， 维为主：高维问题极少，而且通常都看做解方程，用行阶梯变换来解：(3)线性变换：大 论非数学类线性代数的内容改革 ——如何用最浅显的理论解决更广泛的问题 西安电子科技大学 陈怀琛 hchchen1934@vip.163.com 摘要：为了弄清线性代数中哪些理论是非数学类（下简称工科）学生必学的，采用了逆向思考的方 法，把后续课和工程中遇到的问题加以归纳，找到其最低限度需要的理论。凡是后续课需要的，讲透加 强；凡是找不到直接需求的，即予省略；凡是能找到简明证法的，均予采纳。根据工科学生的特点，尽 量从具体到抽象，加强形象教学在理论证明中的作用。经过多年尝试，提出一些原则，并写出了教材[2]。 一、工科大学为什么要开线性代数课？ 1960 年前后，线性代数进入美国大学数学系本科教学计划[1]，以后修这门课的非数学系学 生却成了主流；三十年前中国的工科是没有线性代数课的，80 年代起增设这门课。线性代数 为什么在近几十年如此风靡呢？不是它在理论上有新突破，而是在应用上的创新。1973 年的 诺贝尔经济奖发给了 Leontiff 教授，因为他 1949 年首创用计算机解了 54 阶线性方程组；80 年代初，线性代数软件包 LINPACK 开发成功。这样人们不需要精通矩阵求解的数学细节，就 可以解决大型复杂的线性代数命题，MATLAB 也是用此软件包作为后台支撑的。线性代数不 再是少数理论尖子才能学会的秘笈，而成为非数学专业大学生都能掌握的计算工具。 现代社会对工科数学提出了更高的要求。钱学森先生在 1989 年写道：“今后对一个问题求 解可以全部让电子计算机去干，不需要人去一点一点算。而直到今天，工科理科大学一二年级 的数学课是构筑在人自己去算这一要求上的。… 所以理工科的数学课必须改革，数学课不是 为了学生学会自己去求解，而是为了学生学会让电子计算机去求解，学会理解电子计算机给出 的答案…”。[4]线性代数是数值计算的基础，不但该率先使用计算机、而且该由它推动其他数 学和工程问题的计算机化。 线性代数的重要性主要体现在它把愈来愈多的新领域与计算机联系起来，Leontiff 获经济 奖说明，想用计算机解决问题就得学线性代数。这种“需求牵引”对非数学专业而言，体现在 用计算机求解高阶复杂的矩阵模型，不是去手工推证课程内部的微观数学公式。它与原数学系 的指导思想相差很大，在实施中师生都提出了改革要求。 实践多年后，美国在 1990 年提出了线性代数作为公共课的五条改革建议：(i)线性代数课 程要面向应用，满足非数学专业的需要；(ii)它应该是面向矩阵的（不是面向向量空间）；(iii) 它应该适应学生的水平和需要；(iv)它应该利用最新的计算技术；(v)抽象内容应另设后续课程 来讲。这五条建议鲜明地指出了非数学系的线性代数与原有课程的重大区别。 二、“面向应用，满足非数学专业的需要”如何体现？ 要做到这一点，必须深入到非数学专业的实践中去，而用计算机解矩阵方程组是问题的核 心。作者从十多门后续工程与管理课程中找到了两百多个应用例题，归纳它们的共同需求。大 体情况是：（１）最多的是解高阶方程组：阶次为 5~15，工程中可高至数千。类型则适定的最 多，超定的其次，欠定的极少见；（２）向量相关性：大部分题目涉及空间几何形状和运动， 三维为主；高维问题极少，而且通常都看做解方程，用行阶梯变换来解；（３）线性变换：大