断裂力学讲义 1.2.1.11型裂纹 Westergaard选用如下的重为应力函数： 重=ReZ,+ylmZ (1-16) 式中下标1表示I型裂纹。由于(1-16)具有(1-12)的形式，它显然自动满足双调和方程(1-9)， 依(1-10)各应力分量为 o,=ReZ-yImZi ,Re Z+yIm Z (1-17) Tx=-yReZi 对任何解析函数Z()都可得到依上式所确定的应力，问题归结为寻求一个解析函数 Z(:),同时满足考虑问题的边界条件，为了求得位移分量，只须将应(1-17)代入物理 关系及应变位移关系（几何关系）即可。以平面应变状态为例，将(1-17)代入平面应变 状态条件下的物理关系 8,=E0-vo,-v0+v)o,】 (1-18) 6,=E0-2)o,-v1+v)o,】 及几何关系 (1-19) 并积分得 -+[1-2v)ReZ-ylmZ u= E (1-20) v=1+V[2(-v)ImZ,-yReZ E 作为Westergaard方法应用的例子，现讨论带中心穿透裂纹并受均匀双轴拉应力的 无限大板的裂纹尖端应力、位移场。当坐标原点选在裂纹中点时，选取复应力函数 Z(:)-0-a (1-21) 就能满足问题的全部条件 (I)在y=0,-a<x<a处，o,=0,t=0: (2)在z→0,0x=0,=0,tg=0 由于Z(e)除(-a<x<a,y=0)以外是解析函数，又满足问题的边界条件，从而是 问题的解。为了计算裂缝尖端附近的应力、位移场，将坐标原点移至裂纹右尖端处。令 6断裂力学讲义 6 1.2.1.1 I 型裂纹 Westergaard 选用如下的Φ为应力函数： I I I Φ  ReZ  y ImZ (1-16) 式中下标 I表示 I型裂纹。由于(1-16)具有(1-12)的形式，它显然自动满足双调和方程(1-9)， 依(1-10)各应力分量为               I I I I I Re Re Im Re Im y Z Z y Z Z y Z xy y x    (1-17) 对任何解析函数 ( ) I Z z 都可得到依上式所确定的应力，问题归结为寻求一个解析函数 ( ) I Z z ，同时满足考虑问题的边界条件，为了求得位移分量，只须将应力(1-17)代入物理 关系及应变-位移关系（几何关系）即可。以平面应变状态为例，将(1-17)代入平面应变 状态条件下的物理关系                [(1 ) 1( ) ] 1 [(1 ) 1( ) ] 1 2 2 y y x x x y E E             (1-18) 及几何关系 x u x     ， y v y     ， y u x v xy        (1-19) 并积分得                I I I I 1(2[ )Im Re 1 [(1 2 )Re Im 1 Z y Z E v Z y Z E u     (1-20) 作为 Westergaard 方法应用的例子，现讨论带中心穿透裂纹并受均匀双轴拉应力的 无限大板的裂纹尖端应力、位移场。当坐标原点选在裂纹中点时，选取复应力函数 2 2 I ( ) z a z Z z    (1-21) 就能满足问题的全部条件 (1) 在 y  0， a  x  a 处， y  0， xy  0 ； (2) 在 z   ， x   y   ， xy  0 由于 ( ) I Z z 除（  a  x  a ， y  0）以外是解析函数，又满足问题的边界条件，从而是 问题的解。为了计算裂缝尖端附近的应力、位移场，将坐标原点移至裂纹右尖端处。令