教学内容 、分部积分公式 设函数(x)、x)在区间[]上具有连续导数,则有dh=l vdu.(定 积分的分部积分公式) 推导:)=+m,(m)2o=的+m vau 例1计算 arcsin xdx 解:令u= arcs x,dh=dx,则dn faresin xdx=[arcsin x]o-5xar 26"2 d(1 +-x=+2-1 例2计算 1+cos 2 解∵1+cos2x=2cos2x xdx 1+cos 2 cOS T-In sec x16=T-hn2 例3 计算/1 dx 解:h1+x) In(1+x)d (2+x) In(1+x) d In(1+x) 2+x1+x 2+x1+x1+x2+x In 2 3+(1+x)-k2+x In 2-In 3 例4设f(x)= sin t d求[xf(x)2 教 学 内 容 一、分部积分公式 设函数 u(x) 、v(x) 在区间 a,b 上具有连续导数，则有     = − b a b a b a udv uv vdu .（定 积分的分部积分公式） 推导： (uv) = u  v + uv  ,  ( )   , b a b a uv dx uv   =   ,   =  +  b a b a b uv a u vdx uv dx   .    = − b a b a b a udv uv vdu 例 1 计算 arcsin . 2 1 0 xdx 解：令 u = arcsin x, dv = dx, 则 , 1 2 x dx du − = v = x,  2 1 0 arcsin xdx   2 1 0 = x arcsin x  − − 2 1 0 2 1 x xdx 2 6 1  =  (1 ) 1 1 2 1 2 0 2 2 1 d x x − − +  12  =   2 1 0 2 + 1− x 1. 2 3 12 = + −  例 2 计算 . 1 cos 2 4 0 +  x xdx 解 1 cos2 2cos , 2  + x = x  +  4 0 1 cos 2  x xdx  = 4 0 2 2cos  x xdx d( x) x tan 2 4 0 =    4 0 tan 2 1  = x x tan xdx 2 1 4 0 −    4 0 ln sec 2 1 8   = − x . 4 ln 2 8 = −  例 3 计算 . (2 ) 1 ln(1 ) 0 2 + + dx x x 解：  + 1 + 0 2 (2 ) ln(1 ) dx x x  + = − + 1 0 2 1 ln(1 ) x x d 1 2 0 ln(1 )       + + = − x x  + + + 1 0 ln(1 ) 2 1 d x x 3 ln 2 = − dx x x  +  + + 1 0 1 1 2 1 （ = +  + x 1 x 1 2 1 x + x − + 2 1 1 1 ）   1 0 ln(1 ) ln( 2 ) 3 ln 2 = − + + x − + x ln 2 ln 3. 3 5 = − 例 4 设  = 2 1 , sin ( ) x dt t t f x 求 ( ) . 1 0 xf x dx