因为一没有初等形式的原函数,无法直接求出f(x),所以采用分部积分法 ∫o(x)=/(x(x)=2F(-2Cxd(x) x f(x)d (x)=m,f(-「2=0,r(x)=5 xf(x dx =f(1) x f(xdx 1〔2 xsin x2a cos x (cos1-D) 例5证明定积分公式 n为正偶数 In,=l sin"xdx= cos"xdx nn-2422 n大于1正奇数 253 证明:设u=sin"x,dh= sin xdx,dh=(n-1) I,=F-sinlxcos x J6+(n-Dfsin-2rcos'xdr l,=(1-1)sm2o-(-1)(sm”wb=(n-1)=2-(n=1 ln=-ln2积分ln关于下标的递推公式 h2=-3 直到下标减到0或1为止 2m2m-2642 10,(m=1,2,…) 2m2m-2642 2m+12m-17 1,(m=1,2,…) Lo= dx=o, I =lsin xdx=1 2m-12m-3531 于是12m=2m2m-2 6422 2m2m-26423 解：因为 t sin t 没有初等形式的原函数，无法直接求出 f (x) ，所以采用分部积分法  1 0 xf(x)dx  = 1 0 2 ( ) ( ) 2 1 f x d x   1 0 2 ( ) 2 1 = x f x  − 1 0 2 ( ) 2 1 x df x (1) 2 1 = f  −  1 0 2 ( ) 2 1 x f x dx  = 2 1 , sin ( ) x dt t t  f x 0, sin (1) 1 1 = dt = t t f , 2sin 2 sin ( ) 2 2 2 x x x x x f  x =  =  1 0 xf(x)dx (1) 2 1 = f  −  1 0 2 ( ) 2 1 x f x dx  = − 1 0 2 2 sin 2 1 x x dx  = − 1 0 2 2 sin 2 1 x dx   1 0 2 cos 2 1 = x (cos1 1). 2 1 = − 例 5 证明定积分公式   = = 2 2 0 0 sin cos   I xdx xdx n n n          − −  −    − −  − = 大于 的正奇数 为正偶数 , 1 3 2 5 4 2 1 3 , 2 2 1 4 3 2 1 3 n n n n n n n n n n    证明：设 sin , 1 u x n− = dv = sin xdx, ( 1)sin cos , 2 du n x xdx n− = − v = −cos x, I  x x n x xdx n n n  − − = − + − 2 2 0 2 2 0 1 sin cos ( 1) sin cos   I n xdx n xdx n n n   = − − − 2 − 2 0 0 2 ( 1) sin ( 1) sin   n n (n 1)I (n 1)I = − −2 − − 2 1 − − n = n I n n I 积分 n I 关于下标的递推公式 2 4 2 3 − − − − n = n I n n I  , 直到下标减到 0 或 1 为止 , 2 1 4 3 6 5 2 2 2 3 2 2 1 2 0 I m m m m I m    − −  − =  (m =1,2, ) , 3 2 5 4 7 6 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 I m m m m I m    − −  + + =  (m =1,2, ) , 2 2 0 0   = =  I dx sin 1, 2 0 1 = =   I xdx 于是 , 2 2 1 4 3 6 5 2 2 2 3 2 2 1 2      − −  − =  m m m m I m . 3 2 5 4 7 6 2 1 2 2 2 1 2 2 1    − −  + + =  m m m m I m