证即:(→)到=1,……,En是规范了证基,则对任意的a=∑a1=:有 () (÷)到对任意的a=∑a1;,有 则 akEk,于中ak=6k因此 同出ε1,…,En是规范了证基. 15.通由对图中平面内了方形以及使如空间内立方显的观察,归得而它的的顶加坐标的特矩,同 出推导而n维空间的立方显的顶加公数个式再计算4维空间中的立方显有多维公3维的侧面,多维公 2维的侧面组1维的棱?这公4维立方显有多维种标从长这的对角线?试求它的的长这以及组棱的的 角.阵能式由这斐为果推广如n维空间的面形? (0,1) (1.0,1) (0,1,0) (0,0) 0.0 (1,0.0) 第15题图 解:n维空间的立方显中,m维子立方显有2mCm公 当m=0时为顶加公数=2 当m=1时为棱数=22-1 于标从长这的对角线有n-1种,长这然再为√2,√3,……,√ 长这为√的对角线组棱的的角为法acos 意对5 1.试求通由加A(1,1,1)组B(1,0.2)且为直其平面x+2y-2-6=0的平面方 解:设所求平面的法记那为v=(A,B,C),则v⊥AB,v算组平面x+2y-2-6=0的法记那为 直.因此有方与 0·A+(-1)B+C=0 A+2B-C=0 满得A:B:C=1:-1:-1.可得加法式方(x-1)-(-1)-(2-1)=0,明x-y-z+1=0. 2.平面Ⅱ由3公加M1(3,-1,5),M2(4,-1,1)和M3(2,0,2).求平面Ⅱ的一公法记那,并求而Ⅱ的 解:平面Ⅱ的一公法记那可基为=M1M2×M1M3=(4,7,1).可得加法式方4(x-2)+7y+ (z-2)=0,明4x+7y+z-10=0: (⇒)  ε1, · · · , εn T=rz, J￾
 α = Paiεi , G (α, εi) =   Xn j=1 aj εj , εi   = Xn j=1 aj (εj , εi) = ai . (⇐) ￾
 α = Paiεi , G (α, εi) = ai , J εj = Pn k=1 akεk, < ak = δkj . !O (εj , εi) = ai = δij . C% ε1, · · · , εn T=rz. 15. rN {r@6$h'pq{+@\, P%8~WUi], C %^% n Fpq+@~ff). xg 4 Fpq+@G Ff 3 FD, Ff 2 FDB 1 F? wf 4 F+@G FbUC;w5t? s8;w$hB 5. ^c)NwH"^ n Fpq6? t t t p  t t t p  uuur uuur   !:F z / 
  (0, 0) (1, 0) (0, 1) (1, 1) t t t p  t t t p  uuur uuur   !:F z / 
 q q q uuur  q q q q q q t t t p  * @  @  @  @  @   0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 P P P P P P P P P (0, 0, 0) (1, 0, 0) (0, 0, 1) (1, 1, 0) (0,1,0) (0, 1, 1) (1, 1, 1) (1,0,1) ￾ 15
: n Fpq+@, m F￾+@G 2 n−mC m n f. b m = 0 R"~f = 2n; b m = 1 R" = 2n−1n; b m = 2 R" = 2n−3n(n − 1); . . . <UC;w5tG n − 1 b, ;w" √ 2, √ 3, · · · , √ n. ;w" √ k 5tB5" π 2 D arc cos √ 1 k .
5–4 1. srN A(1, 1, 1) B B(1, 0, 2) ?".< x + 2y − z − 6 = 0 @A. : #sD " ν = (A, B, C), J ν ⊥ −→AB, ν gB x + 2y − z − 6 = 0 D " .. !OG@AB ( 0 · A + (−1)B + C = 0 A + 2B − C = 0. -P A : B : C = 1 : −1 : −1. >PD)@A (x − 1) − (y − 1) − (z − 1) = 0,  x − y − z + 1 = 0. 2.  Π N 3 f M1(3, −1, 5), M2(4, −1, 1) : M3(2, 0, 2). s Π HfD , Ws% Π  @A. :  Π HfD >z" ν = −−−−→ M1M2 × −−−−→ M1M3 = (4, 7, 1). >PD)@A 4(x − 2) + 7y + (z − 2) = 0,  4x + 7y + z − 10 = 0. · 11 ·