证明:设有线性关系式 0. 把这个等式分别与α1,…,am作内积,可以得到变量x1,…,xn的一个齐次线性方程组 (a2,a1)x1+(a2,a2)x2+…+(a2,am)xm=0 (am, a1)I1+(am, a2) 2+.+(om, am)Im=0 其系数矩阵就是格拉姆矩阵G(α1,…,αm).再利用齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可得: G(a1,a2,…,am)≠0÷齐次线性方程组只有零解1=…=cm=0a1,……,am线性无关 11.设E1,E2,E3是三维欧几里得空间V的一个规范正交基 证明:a1=3(21+22-),2=3(21-2+23)3=3(1-2-2=)也是V的一个规 范正交基 证明:直接验证可知,a1,a2,a3都是单位向量,且两两正交.故它们是V的单位正交向量组又因 dimV=3,它们构成V的规范正交基 12.将标准欧几里得空间R的基a1=(1,1,0,0),a2=(1,0,1,0),a3=(-1,0,0,1),a4=(1,1,1,-1) 化为规范正交基 解2(1.0.(-1.20,2(-133(11-1) 13.求齐次线性方程组 x2+x3+3x4-x5=0 +2x5=0 的解空间(作为标准欧几里得空间R5的子空间)的一个规范正交基 解:该齐次线性方程组的一个基础解系为 230 正交化得 3 34 单位化后得规范正交基 A 938 14-(-1,23.0.0), (-12,3,-6,7,0), (-10.-23,12,3,34) 14.证明:在欧几里得空间V中,基1,E2,……,En是规范正交基的充分必要条件是:对V的任意向 量a=a1E1+a2E2+…+anEn,总有 10: Gt&*j) x1α1 + x2α2 + · · · + xmαm = 0. NwfV)B α1, · · · , αm /{, >$P= x1, · · · , xm HfHt&@AB:    (α1, α1)x1 + (α1, α2)x2 + · · · + (α1, αm)xm = 0 (α2, α1)x1 + (α2, α2)x2 + · · · + (α2, αm)xm = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (αm, α1)x1 + (αm, α2)x2 + · · · + (αm, αm)xm = 0 <j]^oZ`[]^ G(α1, · · · , αm). 3Ht&@ABGno-0@&12>P: |G(α1, α2, · · · , αm)| 6= 0 ⇐⇒ Ht&@AB{Go-x1 = · · · = xm = 0 ⇐⇒ α1, · · · , αmt&,*. 11.  ε1, ε2, ε3 4FS'Ppq V HfT=rz. ST: α1 = 1 3 (2ε1 + 2ε2 − ε3), α2 = 1 3 (2ε1 − ε2 + 2ε3), α3 = 1 3 (ε1 − 2ε2 − 2ε3) g V HfT =rz. : .}S>, α1, α2, α3 m/ , ?77r. !8 V /r B. Q! dim V = 3, 8u* V T=rz. 12. vUS'PpqR 4 z α1=(1, 1, 0, 0), α2=(1, 0, 1, 0), α3 = (−1, 0, 0, 1), α4 = (1, 1, 1, −1) L"T=rz. : √ 2 2 (1, 1, 0, 0), √ 6 6 (1, −1, 2, 0), √ 3 6 (−1, 1, 1, 3), 1 2 (−1, 1, 1, −1). 13. sHt&@AB ½ x1 − x2 + x3 + 3x4 − x5 = 0 x1 + 2x2 − x3 + 2x5 = 0 -pq (/"US'Ppq R 5 ￾pq) HfT=rz. : Ht&@ABHfz-j" α1 =   −1 2 3 0 0   , α2 =   −2 1 0 1 0   , α3 =   0 −1 0 0 1   . rLP:   −1 2 3 0 0   ,   − 12 7 3 7 − 6 7 1 0   ,   − 5 17 − 23 34 6 17 3 34 1   . /LPT=rz: √ 14 14 (−1, 2, 3, 0, 0), √ 238 238 (−12, 3, −6, 7, 0), √ 1938 1938 (−10, −23, 12, 3, 34). 14. ST: kS'Ppq V , z ε1, ε2, · · · , εn T=rz0@&12: V ￾
 α = a1ε1 + a2ε2 + · · · + anεn, 8G (α, εi) = ai (i = 1, 2, · · · , n). · 10 ·