华东师范大学2004数学分析 、(30分)计算题。 1、求lm(cosx 2、若 +xsin( arctan x),求 4、求幂级数∑mx"的和函数f(x) 5、L为过O0)0A2)的曲线y=asmx(a>0,求(x+y)+2+y) y=asin x, dy= dasin x= a cos xdx 6、求曲面积分(2x+)+d其中=x2+y2,0≤=≤1),取上侧 (30分)判断题(正确的证明,错误的举出反例) 1、若{xn,n=1,2,…,}是互不相等的非无穷大数列,则{xn}至少存在一个聚点 x0∈(-∞,+∞) 2、若∫(x)在(a,b)上连续有界,则f(x)在(a,b)上一致连续 3、若f(x),g(x)在上可积,则im∑f()g(2-)=「f(x)g(x)hx an收敛,则∑a2收敛 5、若在R上定义的函数f(x,y)存在偏导数Jx(x,y),J,(x,y)且f1(x,y),f(x,y)在 (0,0)上连续,则∫(x,y)在(0,0)上可微 6、f(x,y)在R2上连续,D,(x0,y)={(x,y)(x-x0)2+(y-y0)2≤r2}若 V(ro, yo),Vr>0,.f(, y)dxdy=0, W f(x, y)=0, (x,y)ER (15分)函数∫(x)在(-∞+∞)上连续,且limf(x)=A,求证:f(x)在(-∞,+∞).上1  华东师范大学 2004 数学分析 一、（30 分）计算题。 1、求 2  2 1 0 ) 2  lim(cos x  x  x  x - Æ 2、若 sin(arctan )),  2  ln y  e  x  x  x = + - 求 ' y .  3、求Ú - - dx  x  xe x 2 (1  ) .  4、求幂级数 • n=1 n nx  的和函数 f (x ) .  5、 L 为过O (0 ,0 )和 ,0) 2 (p A  的曲线 y = a sin x (a > 0 ) ,求 Ú + + + L (x y  )dx  (2  y )dy . 3 y = a sin x , dy = da sin x = a cos xdx 6、求曲面积分ÚÚ + + S (2 x z)dydz zdxdy ,其中 ,(0  1 ) 2 2 z = x  + y  £ z £ ,取上侧.  .  二、（30 分）判断题（正确的证明，错误的举出反例） 1 、 若 { x  , n = 1 ,2 ,L,}  n 是 互 不 相 等 的 非 无 穷 大 数 列 ， 则 { }  n x  至 少 存 在 一 个 聚 点 ( , ). x0 Œ -• +• 2、若 f (x ) 在(a ,b )上连续有界，则 f (x ) 在(a ,b )上一致连续.  3、若 f (x ) , g (x ) 在[0 ,1 ]上可积，则 Â Ú = Æ• = - n i  n f  x  g  x  dx  n  i  g  n  i  f  n 1 1 0 ) ( ) ( ) 1  ( ) ( 1  lim  .  4、若 • n=1 a n 收敛，则 • =1 2 n a n 收敛.  5、若在 2 R 上定义的函数 f (x , y ) 存在偏导数 f  (x , y ) x ,  f (x , y ) y  且 f  (x , y ) x ,  f (x , y ) y  在 (0,0)上连续，则 f (x , y ) 在(0,0)上可微.  6  、 f (x , y ) 在 2 R 上 连 续 ,  ( ,  ) {( ,  ) | ( ) ( ) } 2 2 0 2 0 0 0 D x  y  x  y  x  x  y  y  r  r = - + - £ 若 ÚÚ " " > = D r  (x , y  ),  r  0,  f (x , y )dxdy  0,  0 0 则 ( , ) 0 ,( , ) . 2 f x  y  = x  y  Œ R 三、（15 分）函数 f (x ) 在(-•,+•).上连续，且lim f (x ) A, x = Æ• 求证： f (x ) 在(-•,+•).上