316 高等数学重点难点100讲 (3)按结构图及求导法则、公式检查求导的正确性, 注意只有一个自变量的复合函数才存在全导数,有两个或两个以上自变量的复合函 数只存在偏导数 例9求d2a az’a 设z=f(x,x-z,yz) ( 解我们分别用三种方法解此题 解法1公式法,将z=f(x,x-y,yz)移项得f(x,x-y,yz)-z=0;令F(x,y, z)=f(x,x-y,yz)-z,则本题可看成由一个三元方程F(x,y,x)=0,确定了一个二元隐 函数x=z(x,y),根据公式=一,=一F为求P…,F,及F…可设x=x-x, v=yz,及叫=F(x,y,z)=f(x,,v)-z,其复合关系图如右: 则F z af au =(yz)y 1=-+y az 图77-7 于是,由隐函数求导公式得 af a z· az ar 1 af af 1 dx+÷dy az a dx b 1 1 au b 解法2(*)式两边分别对x和对y求偏导(记住z是由(*)式确定的x,y的函数z= (x,y)),得 az af, af ar ar 妥-)+, (-3)+当(z+y) 由上述两式分别解得 ar 1+ f 1+ 从而d a a af 注意上面两个方法求导过程中,三个变量x,y,z所处的地位不同.方法一中,求Fx Fy,F2时F(x,y,x)里的x,y,z都看成是独立的变量,函数F对某一变量求偏导时,其余两 个变量都看成常数;而方法二中,方程F(x,y,z)=f(x,x-z,yz)-z=0中的z看成是 x,y的隐函数z=z(x,y),因此方程中的x,y,z就不都是自变量了,只有x,y是自变量的, 方程两边对x(或y)求偏导时,只能把y(或x)看成常量,不能把z看成常量 解法3利用全微分概念求解.全微分等于偏微分的和,根据微分形式不变性,对于某