(1)V中不含原点(0,0,0); (2)V中含原点(0,0,0)时,令 d dydz lim dxdydz E→0+ 其中v是以原点为心,以 varepsilon为半径的球 11.利用高斯公式变换以下积分: (1)∫∫ ruddy+ eded+ yzdydz; (2)Jca+物cs)+co),其中osa,cos,cos是曲面的外 法线方向余弦 12.设u(xr,y),v(x,y)是具有二阶连续偏导数的函数,并设 a2u a2 a. ay2 证明: (1)J△drdy=Jmds; (2)J△udd=J+物物)dm+vm (3)J(△-t△a)ddy=-41(vm-um)ds.其中σ为闭曲线所围的 平面区域,器,需为沿外法线的方向导数 13.设△=++票,S是V的边界曲面,证明 (1)m△ ud edda=m (2)Jm=m(m2+(物)2+()2+mu△ ld.cdydx.式中a在V及 其边界曲面S上有连续的二阶偏导数,为沿曲面S的外法线的方向导 数(1) V 中不含原点(0, 0, 0)； (2) V 中含原点(0, 0, 0)时，令 ZZZ V dxdydz r = lim ε→0+ ZZZ V −Vε dxdydz r , 其中Vε 是以原点为心，以varepsilon 为半径的球． 11．利用高斯公式变换以下积分： (1) RR S xydxdy + xzdzdx + yzdydz; (2) RR S ( ∂u ∂x cos α + ∂u ∂y cos β + ∂u ∂z cos γ) ，其中cos α, cos β, cos γ 是曲面的外 法线方向余弦． 12．设u(x, y), v(x, y) 是具有二阶连续偏导数的函数，并设 ∆u = ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 证明： (1) RR S ∆udxdy = R l ∂u ∂n ds; (2) RR σ v∆udxdy = RR σ ( ∂u ∂x ∂v ∂x + ∂u ∂y ∂v ∂x)dxdy + H l v ∂u ∂n ; (3) RR σ (u∆v − v∆u)dxdy = − H l (v ∂u ∂n − u ∂v ∂n )ds．其中σ 为闭曲线l 所围的 平面区域，∂u ∂n , ∂v ∂n 为沿l 外法线的方向导数． 13．设∆u = ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 + ∂ 2u ∂z2 , S 是V 的边界曲面，证明： (1) RRR V ∆udxdydz = RR S ∂u ∂n； (2) RR S u ∂u ∂n = RRR V [(∂u ∂x) 2 + (∂u ∂y ) 2 + (∂u ∂z ) 2 ] + RRR V u∆udxdydz ．式中u 在V 及 其边界曲面S 上有连续的二阶偏导数，∂u ∂n 为沿曲面S 的外法线的方向导 数． 4