设A=g(x+△Ax)-g(x)(Ax≠0),在上式两边同时除以Ax,则有 f(g(x+△x)-f(g(x0) △l△u fo +a 由函数n=g(x)在x=x可导,即有1mn 4(,且此式也蕴含 了lim△u=0。注意到在Ax→>0的过程中,或者有△n=0,这时有a=0 或者有Δn≠0,但M趋于0,因此由lima=0,可知lima=0 Ax→0 于是令Ax→0,得到 dy= lim /(8(=o+Ax)-/(8(=o) (u)lim -+ lim a lim u f(l)g(x0)。 r→0△xAx→0Ax0△r 证毕设 )()(= 0 0 Δ + Δ − xgxxgu ( 0) Δx ≠ ，在上式两边同时除以Δx ，则有 0 0 0 ( ( )) ( ( )) ( ) f gx x f gx u u f u x x x α + Δ − Δ Δ = + ′ Δ Δ Δ 。 由函数u gx = ( )在 x x = 0可导，即有 0 0 lim ( ) x u g x Δ → x Δ = ′ Δ ，且此式也蕴含 了 0 lim 0 x u Δ → Δ = 。注意到在Δx → 0的过程中，或者有Δu = 0，这时有α = 0； 或者有Δu ≠ 0 ，但Δu 趋于0，因此由 0 lim 0 u α Δ → = ，可知 0 lim 0 x α Δ → = 。 于是令Δx → 0，得到 0 0 0 0 0 0 0 00 ( ( )) ( ( )) lim ( ) lim lim lim ( ) ( ) x x xx y f gx x f gx x x u u f u f u g x x x α Δ → Δ→ Δ→ Δ→ + Δ − = Δ Δ Δ = += ′ ′ ′ Δ Δ d d 。 证毕