§4复合函数求导法则及其应用 复合函数求导法则 定理4.4.1(复合函数求导法则)设函数u=8(x)在x=x可导, 函数y=f(l)在u=l1=g(x0)处可导,则复合函数y=f(g(x)在x=x可 导,且有 f(g(x))y==∫'(l)g(x0)=f(g(x0)g'(x) 证因为y=f(l)在4处可导,所以可微。由可微的定义,对任 意一个充分小的△≠0,都有 f(l+△n)-f(l)=f(a)△+a△l, 其中lima=0。 因为当△n=0时Ay=0,不妨规定当△M=0时a=0,因此上式对 △n=0也成立。复合函数求导法则 定理4.4.1 (复合函数求导法则) 设函数u gx = ( )在 x x = 0可导， 函数 y fu = ( )在u u gx = 0 0 = ( )处可导,则复合函数 y f gx = ( ( ))在 x x = 0可 导，且有 [ ( ))] ( ) ) f gx f u g x x x ( ′ = ′ ′( = 0 0 0 = f gx g x ′( )) ) ( ′( 0 0 。 证 因为 y fu = ( )在u0处可导，所以可微。由可微的定义，对任 意一个充分小的Δu ≠ 0，都有 0 00 f ( ) () () u u fu f u u u + Δ − = Δ+Δ ′ α ， 其中 0 lim u→Δ α = 0。 因为当 u =Δ 0时Δy = 0，不妨规定当Δu = 0时α = 0，因此上式对 Δu = 0也成立。 §4 复合函数求导法则及其应用