厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn 第七章相似标准形 81入-矩阵 教学目的与要求掌握多项式矩阵(λ-矩阵)的定义以及和矩阵多项式的关 系;理解初等λ-阵的定义;掌握λ-矩阵的相抵与运算;熟练掌握可逆λ-矩阵 的充要条件;理解λ_矩阵的带余除法;熟悉数字矩阵相似与相应特征矩阵的相 抵的联系 λ-矩阵的定义和运算 定义1设K是一个数域,形如 a11()a12( A(入)= a21(A)a2() a2n(入) anm1(入)am2(入) 的m×n矩阵,其中a(入)∈K[入,称为多项式矩阵,或λ-矩阵,也记为A(入)= 多项式矩阵A(可表示为 A(A)=MX+M1-1-1+…+M1A+M0 其中M为m×n阶数字矩阵,1≤i≤L.上式称为l次矩阵多项式.因此,一个 多项式矩阵可以写为系数为数字矩阵的多项式,反之,一个系数为数字矩阵的多 项式也可以写为项式矩阵. 例1 2-1入+3 A(入) 00 10 例2A 则M-A 入-1-2 3入-4g!8& P Æ< IP )D 59.77.1.116; 7i gdjpkc.xmu.edu.cn dh febig §1 λ− V> OYUM℄ZV =/}V> (λ− V>) $,*(F?V>/}$; \T% λ− >$,*= λ− V>$'58_=Ym λ− V> $#M\T λ− V>$42IV>5-?V>$ '$^
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λ− V>$,*?8 N[ 1 x K ￾&96￾s A(λ) =   a11(λ) a12(λ) · · · a1n(λ) a21(λ) a22(λ) · · · a2n(λ) · · · · · · · · · · · · am1(λ) am2(λ) · · · amn(λ)   , $ m ×n V>￾nG aij (λ) ∈ K[λ], /}V>￾D λ− V>￾$H A(λ) = (aij (λ))m×n. /}V> A(λ) Y~ A(λ) = Mlλ l + Ml−1λ l−1 + · · · + M1λ + M0, nG Mi  m × n RIV>￾ 1 ≤ i ≤ l. w} l V>/}
+￾&9 /}V>Y(IV>$/}￾3C￾&9IV>$/ }$Y(}V>
R 1 A(λ) =  λ 2 − 1 λ + 3 1 λ 3 + 2λ  =  0 0 0 1  λ 3 +  1 0 0 0  λ 2 +  0 1 0 2  λ +  −1 3 1 0  . R 2 A =  1 2 3 4  , ; λI − A =  λ − 1 −2 −3 λ − 4  . 1