中学代数研究】 第一讲数与数系 一、数系的历史发展 ()数学思维对象与实体的分离 数的概念的产生和发展 人类在腺胧时代就已具有识别事物多寡的能力。从这种原始的“数觉”到抽象的“数”概念的 形成，是一个缓慢的、渐进的过程。原始人先是注意到一 只羊与许多羊、一头狼与整群狼的区别， 逐渐看到一只羊、一头狼、一条鱼之间存在着某种共通的东西，即他们的单位性。 数：一定物群所共有的抽象性质。 “数”概念的形成可能与火的使用一样古老，大约是在30万年以前。 I最早是手指计数。十进制、五进制多发于此。 Ⅱ石子计数。但计数的石子堆很难长久保存信总 Ⅲ结绳计数、刻痕计数。 人类刻痕计数发现的最早证据，是1937年在捷克摩拉维亚出土的幼狼胫骨，其上有55道刻痕。 历史途径扩展： *自然数{1,2,3一正有理数一简单的代数无理数（如√反，√互+√万等）一零（公元650年左右， 印度)与负有理数一复数一严格的实数系。 逻辑扩展： 自然数负数降→整数系作分数城→有理数系作相价类→实数系作2流代展→复数 系。 注：四元数H(a,b,c,d不满足某些数的性质，故不属于数系。 (②从一个数系A扩展到新的数系B,应当遵循如下的结构主义原则： ①A是B的真子集，即ACB。 ②在新数上建立各种运算。A的元间所定义的运算关系，在B的元间也有相应的定义，且B的元 间的这些关系和运算对B中的A的元来说与原定义一致：这保证老结构和新结构彼此相容。 ③B的结构和A的结构可能有本质不同。某种运算在A中不是总能实施，在B中却总能实施。 ④在A的具有上述三个性质所有的扩展中，在同构意义下，B是唯一最小扩展。 (补充)基本概念 同构一一(A)与(B,⊙)是两个代数系统。若存在A到B上的一一映射∫，且a,b∈A,有 f(a*b)=f(a)ef(b),则称(A)与(B,⊙)同构，f为同构映射。 扩张一—若B是B的一个真子集，且(4)与(B,⊙)同构，则称(B,⊙)是(4)的一个扩张。 二、自然数系和0 (①自然数的基数理论和序数理论中学代数研究 1 第一讲 数与数系 一、数系的历史发展 ⑴数学思维对象与实体的分离 数的概念的产生和发展 人类在朦胧时代就已具有识别事物多寡的能力。从这种原始的“数觉”到抽象的“数”概念的 形成，是一个缓慢的、渐进的过程。原始人先是注意到一只羊与许多羊、一头狼与整群狼的区别， 逐渐看到一只羊、一头狼、一条鱼之间存在着某种共通的东西，即他们的单位性。 数：一定物群所共有的抽象性质。 “数”概念的形成可能与火的使用一样古老，大约是在 30 万年以前。 Ⅰ最早是手指计数。十进制、五进制多发于此。 Ⅱ石子计数。但计数的石子堆很难长久保存信息。 Ⅲ结绳计数、刻痕计数。 人类刻痕计数发现的最早证据，是 1937 年在捷克摩拉维亚出土的幼狼胫骨，其上有 55 道刻痕。 历史途径扩展： *自然数 1,2,3 →正有理数→简单的代数无理数（如 2, 2 + 3 等）→零（公元 650 年左右， 印度）与负有理数→复数→严格的实数系。 逻辑扩展： 自然数 ⎯添加负数和零 ⎯⎯ ⎯→ 整数系 ⎯作分数域 ⎯ ⎯→ 有理数系 ⎯作柯西序列等价类 ⎯⎯⎯ ⎯→ 实数系 ⎯作⎯2次代数扩展 ⎯⎯⎯→ 复数 系。 注：四元数 H(a,b,c,d) 不满足某些数的性质，故不属于数系。 ⑵从一个数系 A 扩展到新的数系 B，应当遵循如下的结构主义原则： ①A 是 B 的真子集，即 A  B 。 ②在新数上建立各种运算。A 的元间所定义的运算关系，在 B 的元间也有相应的定义，且 B 的元 间的这些关系和运算对 B 中的 A 的元来说与原定义一致；这保证老结构和新结构彼此相容。 ③B 的结构和 A 的结构可能有本质不同。某种运算在 A 中不是总能实施，在 B 中却总能实施。 ④在 A 的具有上述三个性质所有的扩展中，在同构意义下，B 是唯一最小扩展。 （补充）基本概念 同构—— (A, ) 与 (B,) 是两个代数系统。若存在 A 到 B 上的一一映射 f ，且 a,b  A ，有 f (a b) = f (a)f (b) ，则称 (A, ) 与 (B,) 同构， f 为同构映射。 扩张——若 B 是 B 的一个真子集，且 (A, ) 与 (B,) 同构，则称 (B,) 是 (A, ) 的一个扩张。 二、自然数系和 0 ⑴自然数的基数理论和序数理论