中学代数研究 ①建立自然数理论的几种方案 【康托尔以集合论为基础，建立自然数基数理论： Ⅱ皮亚诺以公理法为基础，建立自姚数序数理论！ Ⅲ罗素等人试图用纯逻辑学为基础，建立自然数理论 ②自然数的基数理论 1定义。基数→有限集一自然数 自然数：有限作的其数 Ⅱ顺序。 (a)顺序定义 如果有限集A,B的基数分别为a,b。那么， 当A~B时，说a等于b,记作a=b: 当A~B'CB时，就说a小于b,记作a<b: 当ApA'~B时，就说a大于b,记作a>b。 (b)顺序性质 [相等。反身性、对称性、传递性(T) 对逆性 a与b 大小（全序性传递性(Th2) 三歧性 Th11)a∈N,有a=a 2Na,beN,若a=b,则b=a (3Ha,b,ceN,若a=b,b=c,则a=c Th21)Ha,b∈N,当且仅当a<b时，b>a (2Ha,b,c∈N,若a<b,b<c,则a<c (3Na,b∈N,在a<b,a=b,a>b中有且只有一个成立。 证：I)设A,B都是有限集。A=a,B=b。则存在B'cB,则A~B'cB即 当BB'~A时，b>a:同理，当b>a时，a<b。 (2)设A、B、C都是有限集，A=a,B=b,C=c。根据定义，存在集合B、C',使得 A~BcB,B~C'cC,这就有集合C"cC',且C"cB,于是 A~C"cC'cC,即a<c。 Ⅲ运算 (a)运算定义 加法定义：设A,B都是有限集。A=a,B=b,且A⌒B=中，则AUB的基数为a加上b的和， 记作a+b。 乘法定义：若b个有限集A,A,.,A,彼此之间没有公共元素，它们的基数都是a,则称 中学代数研究 2 ①建立自然数理论的几种方案 Ⅰ康托尔以集合论为基础，建立自然数基数理论； Ⅱ皮亚诺以公理法为基础，建立自然数序数理论； Ⅲ罗素等人试图用纯逻辑学为基础，建立自然数理论。 ②自然数的基数理论 Ⅰ定义。基数→有限集→自然数 自然数：有限集的基数。 Ⅱ顺序。 (a) 顺序定义 如果有限集 A, B 的基数分别为 a,b 。那么， 当 A ~ B 时，说 a 等于 b ，记作 a = b ； 当 A ~ B  B 时，就说 a 小于 b ，记作 a  b ； 当 A  A ~ B 时，就说 a 大于 b ，记作 a  b 。 (b) 顺序性质             （ ） 三歧性 传递性 对逆性 大小（全序性） 相等。反身性、对称性、传递性（ ） 与 2 1 Th Th a b a b c N a b b c a c a b N a b b a Th a N a a   = = =   = =   = ⑶ 若 则 ⑵ 若 则 ⑴ 有 , , , , , , , , 1 , ⑶ 在 中有且只有一个成立。 ⑵ 若 则 ⑴ 当且仅当 时， a b N a b a b a b a b c N a b b c a c Th a b N a b b a    =           , , , , , , , , , 2 , , ，即 。 ，这就有集合 ，且 ，于是 ⑵设 、 、 都是有限集， ， 。根据定义，存在集合 、 ，使得 当 时， ；同理，当 时， 。 证：⑴设 都是有限集。 。则存在 则 即 A C C C a c A B B B C C C C C B A B C A a B b C c B C B B A b a b a a b A B A a B b B B A B B                = = =        = =     ~ ~ , ~ , ~ , , , ~ . Ⅲ运算 (a) 运算定义 加法定义：设 A, B 都是有限集。 A = a,B = b,且A B =  ，则 A  B 的基数为 a 加上 b 的和， 记作 a + b。 乘法定义：若 b 个有限集 A A Ab , , , 1 2  彼此之间没有公共元素，它们的基数都是 a ，则称