√1 解田如=x=P=41,→该积分收:(可不进行判 敛,把该积分化为B-函数在其定义域内的值,即判得其收敛.) d(x2) t4(1-1)4dt= t+(1-1)4a=!3 例6f(x)= Sin x cOS°x,求积分 f(x)f()f(a)dxdydc 其中V:0≤x≤x,0≤y≤x,0≤z≤x 解∫-)0y/=八(C0m)= 而jf(x)=[ sin xcosxdx 1(7+16+1)1n,7 2 r(4)I(=) 3×2.5×1.5×0.5×r(0.5) 2r(15)265×55×45×35×25×15×05×r(05563 3(563)(563 255解 , 2 1 1 1 lim 4 4 4 1 = − − → − x x x 1 4 1 p <= , ⇒ 该积分收敛 . ( 亦可不进行判 敛 ,把该积分化为 B − 函数在其定义域内的值 , 即判得其收敛 . ) I ∫ ∫ ∫ ==== =− −⋅ = −⋅ = = − − 1 0 4 1 4 1 3 0 3 4 4 1 4 0 3 4 4 3 )1( 4 1 1 )( 4 1 1 4 dttt xx xd xx dxx xt ⎟ ==⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟Γ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ Γ=⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = =− ∫ − − 4 sin 4 1 4 3 4 1 4 1 4 3 , 4 1 4 1 )1( 4 1 1 0 1 4 3 1 4 1 π π Bdttt 4 2π . 例 6 xxxf , 求积分 67 = cossin)( , ∫∫∫ V )()()( dxdydzzfyfxf 其中 V : x 0 , 0 , ≤≤≤≤≤≤ xzxy 2 0 π . 解 ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = V x x x dxdttfxfdzzfdyyfdxxf 2 0 00 2 0 2 0 )()()()()( π π ∫∫ ∫ ∫ ∫ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 0 0 3 2 0 2 0 3 0 2 0 )( 3 1 )( 3 1 )()( π π π x x x dttfdttfddttf dxxf . 而 ∫ ∫ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ = = 2 0 2 0 67 2 7 , 4 2 1 2 16 , 2 17 2 1 cossin)( π π dxxf Bxdxx B 563 3 )5.0(5.05.15.25.35.45.55.6 )5.0(5.05.15.2 !3 2 1 ) 2 15 ( ) 2 7 ()4( 2 1 . = Γ××××××× Γ×××× ⋅= Γ ΓΓ ⋅= . 因此, 3 3 . )563( 9 563 3 3 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫∫∫ V . 255