B(m, n) m+n-1m+n-2m+1m(m-1 (n-1)!(m-1)r(n)r(m) (m+n-1)!T(n+m) 特别地,p>0,q>0且p+q=1或P+q=2时,由于r(1)=I(2)=1,就有 B(p, a=r(pr 余元公式——-函数与三角函数的关系:对0<P<1,有 r(p)I(1-p)= sin p7 该公式的证明可参阅:Φ uxmeH2atbl,微积分学教程lo/2第3分册,或参阅 余家荣编《复变函数》P1l8-119例1(利用留数理论证明).利用余元公式,只 要编制出0<S≤时r(s)的函数表,再利用三角函数表,即可对Vs>0,查表 求得r(s)的近似值 四、利用 Euler积分计算积分 例3利用余元公式计算 2 解(1(乙 例4求积分 dx 1+x 解令t=x°,有 dt 6(66 (1+1)66 1)1 6)6 例5计算积分a 254= − − ⋅⋅ + ⋅⋅ −+ − ⋅ −+ − = )!1( )!1(1 1 1 2 2 1 1 ),( m m mmnm n nm n nmB " )( )()( )!1( )!1()!1( mn mn nm mn +Γ ΓΓ = −+ − − = . 特别地, qp >> 0 , 0 且 或 qp =+ 1 + qp = 2 时, 由于Γ = Γ = 1)2()1( , 就有 ΓΓ= qpqpB )()(),( . 余元公式—— 函数与三角函数的关系： −Γ 对 < p < 10 ，有 π π p pp sin )1()( =−ΓΓ . 该公式的证明可参阅: Фихтенгалъц , 微积分学教程 Vol 2 第 3 分册, 或参阅 余家荣编《复变函数》P118—119 例 1（ 利用留数理论证明 ）. 利用余元公式, 只 要编制出 2 1 0 s ≤< 时 的函数表 Γ s)( , 再利用三角函数表, 即可对∀s > 0, 查表 求得 的近似值 Γ s)( . 四、利用 Euler 积分计算积分: 例 3 利用余元公式计算 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ 2 1 . 解 π π π ⎟ ==⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ −Γ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ Γ=⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ 2 sin 2 1 1 2 1 2 2 1 , ⇒ ⎟ = π ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ 2 1 . 例 4 求积分 ∫ ∞+ 0 + 6 1 x dx . 解 令 = xt 6 , 有 I ∫ ∫ ∞+ ∞+ + − − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + = + = 0 0 6 5 6 1 1 6 1 6 5 6 5 , 6 1 6 1 )1( 6 1 16 1 Bdt t t dt t t 3 6 sin 6 1 6 1 1 6 1 6 1 π π π ⎟ =⋅=⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ −Γ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ= . 例 5 计算积分 ∫ − 1 0 4 4 1 x dx . 254