例0已知两直线方程分别为L:-丹-号4，-分-号 (1)验证直线L与L相交 (2)求过直线与直线L,的平面x的方程. 分析为证两直线相交，只需证明它们共面但不平行. 解(1)显然点M,L,1)和点M,(31,2)分别在直线L与L上，则MM=(2,0,1), 且直线L与L2的方向向量分别为5=(1,1，-)，5=山，-12).又 11- s×5)-M,M=1-12=0, 201 则向量、s,与MM共面，即直线工与L共面，显然向量，s,不平行，所以L与L相 交， (2)平面x的法向量垂直于直线与L的方向向量多、3，取 ii k n=号×3=11-1=0，-3-2). 1-12 又点M,L,L,)在平面π上，故平面π的点法式方程为 1(x-1)-3(y-1)-2(e-1)=0, 即x-3y-2:+4=0为所求平面方程. 例2求线红70在看少实80上影 分析根据投影的定义，求直线L在平面π上的投影直线，只需求出过直线L且与已 知平面垂直的平面：，那么两平面的交线就是所求的投影直线， 解法1过L作一平面元，使元，与平面x垂直，则元，的法向量为m=s×m,其中s为 直线L的方向向量且 方k s=0 =(4,3-2),n=0-1,3) 1-2-1 于是 -2=70-2.-0 3 例 20 已知两直线方程分别为 1 1 1 1 1 1 x y z L − − -1 ： ＝ ＝ － , 1 3 1 2 1 1 x y z L − − − − ： ＝ ＝ 2 , （1）验证直线 L1 与 L2 相交； （2）求过直线 L1 与直线 L2 的平面  的方程． 分析 为证两直线相交，只需证明它们共面但不平行． 解 （1）显然点 1 M (1,1,1) 和点 2 M (3,1,2) 分别在直线 L1 与 L2 上，则 1 2 M M = (2,0,1) ， 且直线 L1 与 L2 的方向向量分别为 1 s = − (1,1, 1)， 2 s = − (1, 1,2)．又 1 2 1 2 1 1 1 ( ) 1 1 2 0 2 0 1 M M − s s   = − = ， 则向量 1 s 、 2 s 与 MM1 2 共面，即直线 L1 与 L2 共面，显然向量 1 s ， 2 s 不平行，所以 L1 与 L2 相 交． （2）平面  的法向量垂直于直线 L1 与 L2 的方向向量 1 s 、 2 s ，取 1 2 1 1 1 (1, 3, 2), 1 1 2 =  = − = − − − i j k n s s 又点 1 M (1,1,1) 在平面  上，故平面  的点法式方程为 1 ( 1) 3 ( 1) 2 ( 1) 0  − −  − −  − = x y z ， 即 x y z − − + = 3 2 4 0 为所求平面方程． 例 21 求直线 2 3 5 0 : 2 7 0 y z L x y z  + − =   − − + = 在平面  : 3 8 0 x y z − + + = 上的投影． 分析 根据投影的定义，求直线 L 在平面  上的投影直线，只需求出过直线 L 且与已 知平面垂直的平面  1 ，那么两平面的交线就是所求的投影直线． 解法 1 过 L 作一平面  1 ，使  1 与平面  垂直，则  1 的法向量为 n s n 1 =  ，其中 s 为 直线 L 的方向向量且 0 2 3 (4,3, 2) 1 2 1 = = − − − i j k s ， n = − (1, 1,3) , 于是 1 4 3 2 7(1, 2, 1) 1 1 3 = − = − − − i j k n ．