第九章曲线积分与曲面积分习题全解 习题9-1 1.计算下列对弧长的曲线积分： ()∫(x+y)心，其中L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段： 解(1)因为直线方程为x+y=1,所以j(x+yd=∫1ds=V反。 (2)重，(x2+y2)”d,其中L为圆周x=acost,y=asint(0≤t≤2x): 解(2)，(x2+y2)yds=i,(a2cos2t+a2sin2t）”ds=a21ds=2πa2m1。 (3)重xd,其中L为由直线y=x及抛物线y=x己所围成的区域的整个边界： 解(3)重xd=xd+,xd=6xV+ex2Tdr+6xV+xTdr -i+4r+-=8号0+4ry6+x=b65+65-. (④)山ed西，其中L为圆周x2+y2=ad2,直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇 形的整个边界. 解(4)设L=4+山，+，（如图9=10所示，则1，e可=之，e可 :{0s9。.-+- ly=x' 重，e可b=fea=efe-l h:0e1经女-mdm-a te可w=jeai=年ae 4:{00ssa,-+ ev ds=fe'dx =e"-11 第九章 曲线积分与曲面积分习题全解 习 题 9－1 1．计算下列对弧长的曲线积分： (1) ( ) L x y ds  ，其中 L 为连接(1，0)及(0，1)两点的直线段； 解（1）因为直线方程为 x y   1 ，所以 ( )d 1d 2 L L   x y s s    。 (2) 2 2 ( )n L  x y ds  ，其中 L 为圆周 x a t  cos ， y a t  sin (0 2 )  t  ； 解（2） 2 2 ( )n L  x y ds  =   2 2 2 2 2 2 1 cos sin 2 n n n L L a t a t ds a ds a        。 (3) d L x s  ，其中 L 为由直线 y x  及抛物线 2 y x  所围成的区域的整个边界； 解（3） 1 2 1 1 2 2 2 0 0 d d d 1 [( ) ] d 1 [( ) ] d L L L x s x s x s x x x x x x              1 1 2 2 3/ 2 1 2 1 0 0 0 0 1 2 1 1 1 4 d 2d [(1 4 ) ] [ 2 ] (5 5 6 2 1) 8 3 2 12          x x x x x x x   。 (4) 2 2 x y L e ds   ，其中 L 为圆周 2 2 2 x y a   ，直线 y x  及 x 轴在第一象限内所围成的扇 形的整个边界． 解（4）设 L L L L    1 2 3 （如图 9-10 所示），则 2 2 2 2 3 1 i x y x y L L i e ds e ds        L1 ： x x y x      ， 2 0 2  x a ，     2 2 ds dx dy dx    2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 0 0 2 1 a a x y x x a L e ds e dx e e         L2 ： cos sin x a t y a t      ，0 4 t    ， 2 2 2 2 ds a t a tdt adt    sin cos 2 2 2 4 0 4 x y a a L e ds e adt ae         L3 ： 0 x x y      ，0  x a ，     2 2 ds dx dy dx    2 2 1 0 1 a x y x a L e ds e dx e      