故重e-ie可=e-1+ar4e-1=e+2. 2.计算下列对弧长的曲线积分： 1 r+y+F山，其中T为曲线x=Ccos,y=Csn,:=d上相应于1从0变 到2的这段弧： 解(1)由于d=Va)2+(d)2+(d) -e (cost-sint)+[e(sint+cost)+(ed=d (2)∫xz,其中T为折线ABCD,这里A、B、C、D依次为点(0,0,0)、(0,0， 2)、(1,0,2)、(1,3,2): 解(2)已知T=AB+BC+CD,注意到 AB:x=0,y=0,z=1,0≤1≤2，BC:x=1,y=0,z=2,0≤1≤1 (在AB及BC上，被积函数xz等于零，∫西xzd=cxzd=0) CD:x=l,y=t,z=2,0≤1≤3，ds=V)2+(d)2+(d)}'=di, 则rxzd=∫x2zd+cx2zds+jx2zd=可xzds=21d=9。 (3)j2yds,其中L为摆线的-拱x=a1-sin),y=a(1-cos)(0≤1≤2π)： (3)Syds="a'(1-cost)a(t-sint)+[a(1-cost)d (cacdrsin =om'sm时=w0-awas管c. (④j(x2+y)ds其中L为曲线x=a(cost+isin),y=a(sint-tcos)(0≤1≤2π). 解④由于ds=Vd+(d'-(at cos）'+(atsin）di=amd t 所以Jx2+y)d=[a2(cos1+1sin1）+d2(sint-1cos）]adh 22 故 2 2 2 2 3 1 1 1 2 2 i 4 4 x y x y a a a a L L i e ds e ds e ae e e a                        。 2．计算下列对弧长的曲线积分： (1) 2 2 2 1 ds x y z     ，其中  为曲线 cos t x e t  ， sin t y e t  ， t z e  上相应于 t 从 0 变 到 2 的这段弧； 解(1)由于       2 2 2 ds dx dy dz          2 2 2 cos sin sin cos 3 t t t t           e t t e t t e dt e dt     所以   2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 3 3 3 3 1 2 2 2 2 t t t t ds e dt e dt e e x y z e                 。 (2) 2 x yzds  ，其中  为折线 ABCD ，这里 A 、 B 、C 、 D 依次为点(0，0，0)、(0，0， 2)、(1，0，2)、(1，3，2)； 解(2)已知     AB BC CD , 注意到 AB ： x y z t t      0, 0, , 0 2 ， BC ： x t y z t      , 0, 2 , 0 1 （在 AB 及 BC 上，被积函数 2 x yz 等于零， 2 2 0 AB BC   x yzds x yzds   ） CD ： x y t z t      1, , 2 , 0 3，       2 2 2 ds dx dy dz dt     ， 则 3 2 2 2 2 2 0 2 9 AB BC CD CD x yzds x yzds x yzds x yzds x yzds tdt             。 (3) 2 d L y s  ，其中 L 为摆线的一拱 x a t t   ( sin ) ， y a t   (1 cos ) (0 2 )  t  ； 解（3） 2 2 2 2 2 2 0 d (1 cos ) [ ( sin ) ] [ (1 cos ) ] d L y s a t a t t a t t          2 2 2 2 3 5 0 0 1 (1 cos ) 2 (1 cos )d 2 4 2 sin d 2 a t a t t a t t         2 2 3 4 3 2 2 3 0 0 1 1 1 1 256 8 sin sin d 8 (1 cos ) dcos 2 2 2 2 15 a t t t a t t a         。 (4) 2 2 ( ) L x y ds  其中 L 为曲线 x a t t t   (cos sin )， y a t t t   (sin cos ) (0 2 )  t  ． 解(4)由于         2 2 2 2 ds dx dy at t at t dt atdt      cos sin ， 所以     2 2 2 2 2 2 2 0 ( ) cos sin sin cos L x y ds a t t t a t t t atdt             