-40+rh=a5+-2r0*r) 3.计算∫ly1d,其中L是双扭线(x2+y2)2=a2(x2-y2),(a>0)一周。 解：在极坐标系下，L:r2=a2cos20,它在第一象限部分为 L:r=a√c0s20(0≤9≤4)利用对称性，得 I=4 yds=4frsim(0)do=4adeos20sim0-a d0 cos28 -rs如8a0-4rcm时“-4d0-9)-20-万a. 4.求空间曲线x=31,y=312,2=213从O0,0,0)至A(3,3,2)的弧长 解 由于ds=Vd)2+(dy)2+(d)2, =√9+36t2+361d=31+21)d 所以所求弧长s=d=31+2=31+2=6。 5.求半径为a、中心角为20的均匀圆弧（线密度p=1) 的重心 图9-1 解取坐标系如图9-1所示，由对称性知，y=0, xpds xds pds ds 2a0 4h=2aoacas0-ad0-8sn优-a02 6.设螺旋形弹簧一圈的方程为x=acost,y=asint,z=t,其中0≤t≤2π，它的线 密度p(x,乃)=x2+y2+z2.求： (1)它关于z轴的转动惯量I:(2)它的重心坐标 ds=(dx)+(dy)+(d)=(-asinx)'+(acosx)'+kdi=a+k'dt M=J P(x,y.ls=J(++ys=f"(a cos't+a'sin't+kP)a+kd 33     2 2 4 2 3 2 3 2 3 2 0 0 1 2 1 2 2 4 t t a t t dt a a                  。 3．计算 | | d , L y s  其中 L 是双扭线 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ),( 0) x y a x y a     一周。 解：在极坐标系下， 2 2 L r a : cos 2 ,   它在第一象限部分为 1 2 0 4 L r a : cos ( )       利用对称性 , 得 4 4 2 2 0 0 1 4 4 4 2 2 d sin ( ) ( ) d cos sin d cos L a I y s r r r a                   4 4 2 2 2 2 0 0 2 4 4 4 1 2 2 2 2 / a a a a sin d cos ( ) ( )              。 4．求空间曲线 2 3 x t y t z t    3 , 3 , 2 从 O(0,0,0) 至 A(3,3, 2) 的弧长． 解 由于       2 2 2 ds dx dy dz    ， 2 4      9 36 36 3(1 2 ) t t dt t dt 所以所求弧长   1 1 1 2 0 0 0 s ds t dt t t       3(1 2 ) 3 6   。 5．求半径为 a 、中心角为 2 的均匀圆弧（线密度  ＝1） 的重心． 解 取坐标系如图 9-1 所示，由对称性知 ， y  0， 0 1 1 sin cos sin 2 2 L L L L L x ds xds a a x xds a ad ds ds a a                            。 6．设螺旋形弹簧一圈的方程为 x a t  cos ， y a t  sin ，z kt  ，其中 0 2  t  ，它的线 密度 2 2 2 ( ) x y z x y z ， ，    .求： (1) 它关于 z 轴的转动惯量 z I ；(2) 它的重心坐标． 解           2 2 2 2 2 2 2 2 ds dx dy dz a x a x k dt a k dt          sin cos   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 ( , , ) ( ) cos sin L L M x y z ds x y z ds a t a t k t a k dt              L O a x  图 9-1