的案数的个数为：网=小-空只小1-小- 证明：π(n,)表示从自然数列1、2、3……n中依次筛去最初a个素数 乃，P2,…P。及其倍数，剩余自然数的个数。我们只用再筛去 Pa41Pa+2,pn的倍数就能得到后部素数加1的个数。Pa4Pa+2,…pn的倍数 的个数是多少呢？我们先看一下p1的倍数有多少个吧。在自然数列1、2、3… n中，找出pa的倍数，共有 个， 这里面P,P2,…P.的倍数己经筛去， 需要减去。就是在1、2、3… n 这些数中去掉p,P2,…P。的倍数， 即是计算 2 同理元 ]a小-e -g 也就是说Pa41,Pa2,pnm的倍数总共有： }- 所以aa)-1- 1就是后部素数的个数。故不超过n的素数的 个数为：π()=x(a.a)- 1+- 推论3：设乃，P2,…p,是前r个素数，π(nsr≤π(Vm,那么不超过自然数 n的素数的个数为：的素数的个数为： () ( ) 1 1 , 11 m i i n n n im α p π πα π − = + ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ = − +− + − ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎝ ⎠ ∑ 证明： π ( ) n,α 表示从自然数列 1、2、3……n 中依次筛去最初 α 个素数 1 2 p , , p p "" α及其倍数，剩余自然数的个数。我们只用再筛去 1 2 , , m p p p α α + + "" 的倍数就能得到后部素数加 1 的个数。 1 2 , , m p p p α α + + "" 的倍数 的个数是多少呢？我们先看一下 1 pα + 的倍数有多少个吧。在自然数列 1、2、3…… n 中，找出 1 pα + 的倍数，共有 1 n pα + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 个，这里面 1 2 pp p , ,"" α的倍数已经筛去， 需要减去。就是在 1、2、3…… 1 n pα + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 这些数中去掉 1 2 pp p , ,"" α的倍数， 即是计算 1 1 , 1 n n p p α α π απ α + + ⎛ ⎞ ⎡⎤ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ = +− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎣⎦ ⎝ ⎠ 。 同理 ( ) 2 2 ,1 1 1 n n p p α α π απ α + + ⎛ ⎞ ⎡⎤ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ + = +− + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎣⎦ ⎝ ⎠ …………………………………………………… ,1 1 m m n n m m p p π π ⎛ ⎞ ⎡⎤ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ − = +− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎣⎦ ⎝ ⎠ 也就是说 1 2 , , m p p p α α + + "" 的倍数总共有： ( ) 1 2 1 1 11 1 1 m m i i nn n m pp p n i p α α α π απ α π π + + = + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ +− + +− + + + +− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ = +− ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎝ ⎠ ∑ "" 所以 ( ) 1 1 , 11 m i i n n i α p πα π − = + ⎧⎪ ⎛ ⎞ ⎫⎪ − +− − ⎨ ⎜ ⎟ ⎬ ⎩ ⎭ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ∑ 就是后部素数的个数。故不超过 n 的素数的 个数为： () ( ) 1 1 , 11 m i i n n n im α p π πα π − = + ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ = − +− + − ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎝ ⎠ ∑ 。 推论 3：设 1 2 , , r p p p "" 是前 r 个素数， ( ) ( ) 3 π π nr n ≤ ≤ ，那么不超过自然数 n 的素数的个数为：