·4 第一章矩阵的相似变换 由于Ax;=入x,(i=1,2,…,s),用A左乘上式得 k1入1x1+k2入2x2+…+k入x=0 从上面两个等式中消去x,得 k1(入1-入）x1+…+k-(入-1-入）x-1=0 由归纳假定，x1,x2,…,x,-1线性无关，又因为入，-入，≠0(i=1,2,…,-1), 所以k1=k2=…=k、-1=0,进而可得k,=0,故x1,x2,…,x,线性无关.证毕 定理1.3还可以推广为如下的定理（证明与定理1.3相仿，这里略去）， 定理1.4设入1，入2，…，入，是方阵A的互不相同的特征值，x1,x2,…, x是对应特征值入；的线性无关的特征向量(i=1,2,…,s),则向量组 X11,…,1,x21,…,x2r2,…,x1,,x 也线性无关 定理l.5设n阶方阵A=(a）nxn的特征值为入1，入2，…，入n,则 (1)a1+a2+…+am=入1+入2+…+dn (2)detA=入1d2…入n; (3)AT的特征值是A1,A2,…,入n,而AH=(a)n×m的特征值为1，入2， …,n 证由行列式的定义知，在det(I-A)的展开式中，有一项是主对角线 上元素的乘积（入-a1)(入-a22)…(入-am),而展开式中其余各项至多包含 n-2个主对角线上的元素，这是因为，如果某一项含有a(i≠)，则该项就 不能含有入一a与入-a,因此这些项关于入的次数最多是n-2,于是 det(aI-A)=λ”-（a11+a2+…+am)入"-1+… 又因为A1,入2，…，dn是det(-A)的n个根，所以 det(aI-A)=(λ-1)(a-a2)…(A-λn) =入”-（入1+入2+…+入n)入"-1+ (1.2) 于是 a+a2+…+am=+2+…+入 在式(1.2)中取入=0得 det(-A)=(-1)"以1λ2…入n 从而 detA=入1入2…入n 最后，由 det(A;I-AH)=det(IA)T det(AIA)=det(IA)=0