S1.1特征值与特征向量 ·3· 得基础解系 P3=(0,1,0)T 故k3P3(k3≠0)是对应入3=2的全部特征向量 矩阵的特征值与特征向量有如下一些性质 定理1.1设入：是A∈C×n的：重特征值（称r:为特征值入，的代数重 数)，对应入，有s,个线性无关的特征向量（称s:为特征值入；的几何重数），则 1≤s,≤r:.（证明略) 对于例1.1中的第1个矩阵A,对应2重特征值2有2个线性无关的特 征向量，而第2个矩阵A对应2重特征值1只有1个线性无关的特征向量。 定义1.3设f(入)是入的多项式 f(A)=a,5+a-1X-1+…+a1入+a0 对于A∈Cmx,规定 f(A）=aA5+a,-1A-l+…+a1A+a0l 称f(A)为矩阵A的多项式. 定理1.2设A∈Cx”,A的n个特征值为入1，入2，…，入m,对应的特征向 量为x1,x2,…,xm,又设f(入)为一多项式，则f(A)的特征值为f(入)， f(2),…,f(入n),对应的特征向量仍为x1,x2,…,xn.如果f(A)=0,则A 的任一特征值入：满足f(入)=0. 证因为Ax=入x:(i=1,2,…,n),于是对正整数k,有 Ax:=A-l(A,)=入A-1x=…=Ax f(A)x:=(a,A5+a-1A-1+…+a1A+a0I)x: -a,A5x,+a,-1A5-lx:+…+a1A+a0x =(a入+a-1d1+…+a1a:+a0)x=f(a;)x 当f(A)=O时 0=f(A)x=f(λ：)x: 由x:≠0知f（入；）=0. 证毕 定理1.3设入1，入2，…，入是方阵A的互不相同的特征值，x1,x2,…,x 是分别与之对应的特征向量，则x1,x2,…,x,线性无关。 证对s用数学归纳法证明.当s=1时，因为x1十0，所以x1线性无关， 即定理成立，假定对；-1个互不相同的特征值定理成立，下证对s个互不相 同的特征值定理也成立.为此，设有常数1，k2,·,k,使 k1x1+k2x2+…+kx=0