2证明:f(x)=∑me在(O+∞)内收敛,但不一致收敛,而和函数在(O,+∞) 内无穷次可微。 证明:(1)、x∈(0,+∞),因为:lmn2mem=0 所以∑ne收敛。 2分 (2)、因为 n·e→+0(n→>+0 所以在(,+∞)上级数通项ne"不一致收敛于0(n→+∞) 从而∑ne"在(0,+∞)上不一致收敛。 ……5分 (3)、x∈(0.+∞),3E>0,使得x∈[E,+∞),此时有0<n2en≤n2e- 而∑n2e"收敛,故∑n2e在[E,+∞)上一致收敛,因级数在 (0+∞)上收敛,(me)=-n2eˉ连续,于是f(x)=∑me在 [E,+∞)内一次可微,特别在x点可微,由x的任意性知 ∫(x)=∑ne在(0,+∞)内一次可微。 7分 同理可证,f(x)=∑(-1)ne在(0.+∞)内可微 事实上,Ⅵx∈(0,+∞),彐E>0.,使得x∈[c,+∞),此时有 0<n2esn'e",而∑ne收敛,故∑ne在E,+o)上一致 收敛,故f(x)=∑(-1)ne在[E,+∞)内可微,特别在x点可 微,由x的任意性知:f((x)=∑(-1ne在(0+∞)内可微 综上,f(x)=∑me在(0.+)内收敛,但不一致收敛,而和函数在 (0,+∞)内无穷次可微。 10分第 5 页 共 5 页 2 证明：   = − = 1 ( ) n nx f x ne 在 (0,+) 内收敛，但不一致收敛，而和函数在 (0,+) 内无穷次可微。 证明：（1）、 x  (0,+) ，因为： lim 0 2  = − →+ nx n n ne 所以   = − n 1 nx ne 收敛。 …………2 分 （2）、因为   → + − −  + 1 (0, ) sup | ne | n e nx x (n → +) 所以在 (0,+) 上级数通项 nx ne − 不一致收敛于 0 (n → +) 从而   = − n 1 nx ne 在 (0,+) 上不一致收敛。 …………5 分 （3）、 x  (0,+)，  0, 使得 x [,+) ，此时有 nx n n e n e − −   2 2 0 ， 而   = − 1 2 n n n e  收敛，故   = − 1 2 n nx n e 在 [ ,+) 上一致收敛，因级数在 (0,+) 上收敛， nx nx ne n e − −  = − 2 ( ) 连续，于是   = − = 1 ( ) n nx f x ne 在 [ ,+) 内一次可微，特别在 x 点可微，由 x 的任意性知   = − = 1 ( ) n nx f x ne 在 (0,+) 内一次可微。 ………… 7 分 同理可证，   = − = − 1 ( ) ( ) ( 1) n k k k nx f x n e 在 (0,+) 内可微。 事实上， x  (0,+)，  0, 使得 x [,+) ，此时有 k nx k n n e n e − − 0   ，而   = − n 1 k n n e  收敛，故   = − n 1 k nx n e 在 [ ,+) 上一致 收敛，故   = − = − 1 ( ) ( ) ( 1) n k k k nx f x n e 在 [ ,+) 内可微，特别在 x 点可 微，由 x 的任意性知：   = − = − 1 ( ) ( ) ( 1) n k k k nx f x n e 在 (0,+) 内可微。 综上，   = − = 1 ( ) n nx f x ne 在 (0,+) 内收敛，但不一致收敛，而和函数在 (0,+) 内无穷次可微。 …………10 分