第4页共5 In(n+1) 且limn+1 In(x+D) lm x+1 3-Hr*/0 =lim x→+① 由牛顿一莱布尼兹公式判别法知:∑ (n+1)条件收敛 n+1 (7分) 五、把f(x)=x在(0,2)内展开成正弦级数。(8分) 解:对∫(x)作奇式周期延拓, a=0.n=0.12 b,=fr(sin" ar= xsin". COS nT= n=1,2,3 所以(x)=∑4 sIn n=I NT 4 丌x1.2丌x13丌 In SIl +-sin 当x=0,2时右边级数收敛于0 (8分) 六、证明题(6分+10分=16分) 1应用凸函数的概念证明对任意实数ab.有e2≤1 证明:设f(x)=e,由于f"(x)=e2>0, 可知f(x)=e在(-,+∞)上为严格凸函数(3分) 令=,x1=a,x2=b,由凸函数定义有f()≤(f(a)+f(b) 从而e2≤(e“+eb) (6分)第 4 页 共 5 页 且 0 1 1 1 ln( 1) 1 ln( 1) lim lim lim = + = + + = + + →+ →+ x →+ x x n n n x x 由牛顿—莱布尼兹公式判别法知：   = − + − + 1 1 1 ( 1) ln( 1) n n n n 条件收敛。 (7 分) 五、把 f x x ( ) = 在 (0,2) 内展开成正弦级数。（8 分） 解：对 f x( ) 作奇式周期延拓， an = 0,n = 0,1,2 2 0 0 2 ( )sin sin 2 l n n x n x b f x dx x dx l l   = = =   4 4 1 cos ( 1) 1,2,3 n n n n n    + − = − = （4 分） 所以 1 1 4 ( ) ( 1) sin 2 n n n x f x n    + = = −  4 1 2 1 3 (sin sin sin ) 2 2 2 3 2    x x x  = − + + 当 x = 0, 2 时右边级数收敛于 0 （8 分） 六、证明题（6 分+10 分=16 分） 1 应用凸函数的概念证明对任意实数 a,b, 有 ( ) 2 1 2 a b a b e  e + e + ； 证明：设 x f (x) = e ，由于 ( ) =  0 x f x e ， 可知 x f (x) = e 在 (−,+) 上为严格凸函数 (3 分) 令 = , x1 = a, x2 = b 2 1  ， 由凸函数定义有 ( ( ) ( )) 2 1 ) 2 ( f a f b a b f  + + 从而 ( ) 2 1 2 a b a b e  e + e + (6 分)