第十二章福里埃级数和福里埃变换 §1.福里埃级数 1.将下列函数展成福里埃级数,并讨论收敛性 (1)f(x)= sinx x∈[-z,丌] (2)f(x ∈[0,] 1, x∈-丌 2.由展开式 sinx 丌<x<丌 (1)用逐项积分法求x2,x3,x在(-,丌)中的福里埃展开式 y求级数∑(,∑L的和 3.()在(-z,兀)内,求∫(x)=e的福里埃展开式 (2)求级数∑ 的和 1+ 4.设f(x)在[,刀]上逐段可微,且f(-z)=f(x).an,b为f(x)的福里埃系数 an’,b'是f(x)的导函数∫(x)的福里埃系数,证明: =-mun(n=1,2…) 5.证明:若三角级数 a+∑(a1 cosnx+ b sin nx) 中的系数an,b满足关系 max. I,n3b}≤M, M为常数,则上述三角级数收敛,且其和函数具有连续的导函数 第1页共3页第 1 页 共 3 页 第十二章 福里埃级数和福里埃变换 §1. 福里埃级数 1． 将下列函数展成福里埃级数，并讨论收敛性： (1) f x x x x ( ) =  − sin [ , ]   ； (2) ( ) 2 , [0, ] 1, [ ,0) x x f x x     =    − ； 2． 由展开式 ( ) 1 1 sin 2 ( 1) n n nx x x n    + = = − −    ， (1) 用逐项积分法求 2 x ， 3 x ， 4 x 在 ( , ) −  中的福里埃展开式； (2) 求级数 ( ) 1 4 1 1 n n n +  = −  ， 4 1 1 n n  =  的和. 3． (1) 在 ( , ) −  内，求 ( ) x f x e = 的福里埃展开式； (2) 求级数 2 1 1 n 1 n  = +  的和. 4． 设 f x( ) 在 [ , ] −  上逐段可微，且 f f (− =   ) ( ). n a ， n b 为 f x( ) 的福里埃系数， ' n a ， ' n b 是 f x( ) 的导函数 f x'( ) 的福里埃系数，证明： 0 a ' 0 = ， ' n n a nb = ， ' n n b na = − ( n 1, 2, ) = . 5． 证明：若三角级数 ( ) 0 1 cos sin 2 n n n a a nx b nx  = + +  中的系数 n a ， n b 满足关系   3 3 max , n n n a n b M ， M 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数