000 000 λ2-A4 M2-M λ3-A4 λn-kn 00 00 00 即p(A)=0 2.零化多项式 多项式f(z),若f(A)=0,则称其为A的零化多项式 由以上定理可知,方阵A的特征多项式为A的零化多项式 3.矩阵指数函数、正弦函数、余弦函数的计算 例:已知四阶矩阵的特征值是丌、-z、0、0,求sinA、cosA、e 解:以(λ)=(λ-m)(λ+T)(λ-0)(入-0)=4-m22 t (A=A4-A2=0+A=TA,A=TTA, A=A=TA sin(a=a+ m(2n+1)1=A+S(1)m)N (-1)° (-1 (2n+1)! (2n+1)! T2 )A3 =A+(sinπ-)A3=A-m2A A)+(8/a*20)m2012=+1(01)A=-2n (-1)° (2n) A=|+A+ 2n (2n)! (2n+1)! =|+A+ T(1)A2+ TYrA (2n)! (2n+1)! cosh Tt =|+A+ A2+sInn T-T                                                1 4 1 n 2 4 2 n 3 4 n-1 n 0 0 0 λ -λ * λ -λ * 0 0 0 λ -λ λ -λ = ... * λ -λ 0 λ -λ 0 0 0 0 0 0                 0 0 0 0 0 0 = = 0 0 0 0 即 (A)= 0 2.零化多项式 多项式 f(z),若 f(A)=0,则称其为 A 的零化多项式。 由以上定理可知，方阵 A 的特征多项式为 A 的零化多项式。 3. 矩阵指数函数、正弦函数、余弦函数的计算 例: 已知四阶矩阵的特征值是  、-π、 0、 0, 求 sinA、 cosA、 A e 解: 4 2 2 (λ)=(λ-π)(λ+π)(λ- 0)(λ- 0)=λ -πλ 故  4 2 2 4 2 2 5 2 3 6 2 4 4 2 (A)= A -πA = 0→A =πA ,A =πA ,A =πA =πA ,       n n n 2n+1 2(n-1) 3 2n+1 3 3 n=1 n=1 n=1 (-1) (-1) 1 (-1) sin(A)= A + A = A + π A =A + ( π )A (2n +1)! (2n +1)! π (2n +1)! 3 -2 3 3 1 = A + (sinπ-π)A = A -π A π     n n 2n 2(n-1) 2 2 -2 2 2 n=1 n=1 (-1) (-1) 1 cos(A)=I+ A =I+ π A =I+ (cosπ- 1)A =I- 2π A (2n)! (2n)! π       A n 2n 2n+1 n=0 n=1 n=1 1 1 1 e = A =I+ A + + A + A = n! (2n)! (2n +1)!     2(n-1) 2 2(n-1) 3 n=1 n=1 1 1 =I+ A + π A + π A (2n)! (2n +1)! 2 3 2 3 coshπ-1 sinhπ-π =I+ A + A + A π π