同理,有eBe4=e4 推论]ee=e"e^=e°=1,(e^)1=e,(e3)=e,e^总存在逆阵 五、矩阵函数的初步计算 1. Hamilton- Cayley定理 n阶矩阵A是其特征多项式的零点,即令 q(λ)=det(入|-A=入+c+…+cnA+cn 则g(A)=A+cA"1+…+cnA+c=0 [证明]:设A的特征值为入λ2,…n,则g(λ)又可写成 q(λ)=(入-入)(λ-λ2)…(λ-入) 由 Schur引理知,存在酉矩阵U,使得 UAU 0 相似矩阵具有相同的特征多项式 所以p()=p(UAU=U厂AU-)UAU-x2)…U厂AU-入) λ2- λ3-k λ3-k2 MM-Mm Am-MO 00 2 λ2-n λ4-k3 00同理, 有 B A A+B e e = e [推论] A -A -A A 0 e e = e e = e =I, A -1 -A A m mA A (e ) = e ,(e ) = e ,e 总存在逆阵 五、 矩阵函数的初步计算 1. Hamilton-Cayley 定理 n 阶矩阵 A 是其特征多项式的零点, 即令 n n-1 1 n-1 n (λ)= det(λI- A)=λ + cλ + + c λ+ c 则 n n-1 1 n-1 n (A)= A + c A + + c A + c I= 0 [证明]: 设 A 的特征值为 λ1 2 n ,λ, ,λ , 则 (λ) 又可写成  1 2 n (λ)=(λ-λ)(λ-λ) (λ-λ) 由 Schur 引理知, 存在酉矩阵 U, 使得             1 -1 2 n λ * λ U AU = 0 λ 相似矩阵具有相同的特征多项式 所以 -1 -1 -1 -1 1 2 n   (A)= (U AU)=(U AU -λI)(U AU -λI) (U AU -λI)                                                 1 2 1 n 2 1 2 n 3 1 3 2 n-1 n n 1 n 2 0 * λ -λ * λ -λ * λ -λ 0 λ -λ = ... λ -λ λ -λ λ -λ 0 λ -λ 0 λ -λ 0 0                                                 1 3 1 n 2 3 2 n 4 3 n-1 n 0 0 λ -λ λ -λ λ -λ * λ -λ * = ... * 0 λ -λ λ -λ 0 0 0 0 0