第6期 陆元鸿：水塔水流量问题的广义线性回归解法 125 ()的变化，他们的做法，虽然也能得到问题的解，但是，由于他们的水流量数据是估计出来的，比起原 始数据来，显然多了一重误差，在此基础上再进行回归或插值，结果必然误差很大，所以，这样做，显然不 是一种很理想的方法， 本文给出了一种直接对水位进行估计的广义线性回归解法，克服了由于加水过程使水位数据跳跃 式变化的困难，同时又避免了从水位数据出发对水流量数据进行估计带来的误差。 2 模型的建立 为了简化问题，我们先不考虑加水过程，假定自始至终水塔中只有水流出，没有水加入， 设在时刻，水塔中水位为 H=H(t), 水塔中的总水量为 H(). 其中，D=47英尺，是水塔的底面直径 在时刻，流出水塔的水流量 f(t)=- 4H门= drD H() 反过来，则有 H(t)=H。- 4 D。 f(t)dt. 其中H。=H(0)是t=0时的水位 由于小镇上每天的用水情况周而复始，每天几乎都是相同的，所以可以认为流量f(t)是以一天时 间T=86400秒为周期的周期函数.我们知道，任何以T为周期的周期函数，都可以展开为下列形式的 Fourier级数： f(t)=a+a1cos )+6sin(学)+aeos()+sin()十. 作为近似，我们取级数前面的这5项（如果希望得到更精确的结果，还可以取更多的项）.对它积分 后可得 H()=H。- =[fod 4 &[ata,eo()+sin()十a:os()+6sin(受）] 4 =A++asin(受)十Aeos(受)十asin()十Aeos()+e。 其中A,BA,A,B,g是常数，e是随机误差。 在这个方程中，函数关系显然是非线性的，但是，通过适当的变量代换，可以将它化为线性.这种可 以化为线性的非线性回归方程，称为广义线性回归方程 令x1=t,x: n(受)=o(受)=n(受)=c0(赞上式化为 H=B+Bx1十Ax2十Ax3十Ax4+Bxs+e 我们就得到了一个多元线性回归方程 用多元线性回归方法，从水位日和时间t的观测数据出发，可以直接求出它的解。 以上是在不考虑加水过程的情况下得到的结果.下面我们进一步把加水过程考虑进去， 设加水速度是均匀的，在第一次加水和第二次加水的过程中，由于加水使得水位上升的速度分别是 两个未知常数B和B. 第一次加水，相当于在水位函数式中加上一项A4(t),其中