2-41-42.-am E-A= a-a2. 11141 -am -a2 .-a 称为A的特征多项式它是P上的一个n次多项式 若是A的特征值，则它必是(4)的一个根反之，若，是(4)在P中的一个根，即E-A=0, 则(3)必有非零解X。=(1,.x,于是非零向量 5=1+xm62+.+x0nE。 满足()，即是A的的一个特征值，是属于的一个特征向量 由此可知，求A的特征值与特征向量分成以下几步： 1),取V的一组基6，6。写出A在此基下的矩阵A: 2).求出E-在P中的全部根，它们即是A的全部特征值 3)把求出的特征值逐个代入(3).对每个特征值入，求出(3)的一个基础解系，它们即是属于2，的线 性无关的特征向量在基6,6。下的坐标这样，我们就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征 向量 3.例1.设线性变换在基6,62,6，下的矩阵是 122) A=212 (221 求A的特征值与特征向量. /1-1-2-2 E-A= -21-1-2 =(+1)2(-5) -2-21-1 所以1=22=-1,13=5. 把元=-1代入(aE-A)X=0得 [-2x-2x2-2x3=0 -2x-2x2-2x1=0 -2x-2x2-2x3=0 11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a E A a a a     − − − − − − − = = − − − 称为 A 的特征多项式.它是 P 上的一个 n 次多项式. 若 0 是 A 的特征值，则它必是(4)的一个根.反之，若 0 是(4)在 P 中的一个根，即 0  E A − = 0, 则(3)必有非零解 0 01 0 ( , ) , X x x n =  于是非零向量. 01 1 02 2 0n n     = + + + x x x 满足(1)，即 0 是 A 的的一个特征值，  是属于 0 的一个特征向量. 由此可知，求 A 的特征值与特征向量分成以下几步： 1).取 V 的一组基 1 , , n    .写出 A 在此基下的矩阵 A ； 2).求出 E A − 在 P 中的全部根，它们即是 A 的全部特征值； 3).把求出的特征值逐个代入(3).对每个特征值 i .求出(3)的一个基础解系，它们即是属于 i 的线 性无关的特征向量在基 1 , , n    下的坐标.这样，我们就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征 向量. 3. 例 1.设线性变换在基 1 2 3    , , 下的矩阵是 1 2 2 2 1 2 2 2 1 A     =       求 A 的特征值与特征向量. 解 2 1 2 2 2 1 2 ( 1) ( 5). 2 2 1 E A         − − −   − = − − − = + −       − − − 所以 1 2 3    = = − = 1, 5. 把  =−1 代入 ( ) 0 E A X − = 得 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 x x x x x x x x x − − − =  − − − =  − − − =