01 +1-4 3 2A-5-3 2-5-3 4 -5 0 0-1/2(2-42+3)3/2(2+1)-0(x2-42+3)-(2+1 2-6 1-4 022-6 0 0 02-24-3-5→0-522-2-3 -62-4)(02-42x-6 0 0-5 22-2-3 00(-3)( 10 3+i√153-i15 )( ⑤EA=42+1 001010 1-2-100(2-1) A的初等因子为{(-1)2,(-1)2},A的若当标准形为 1000 0010 3设A∈ Matnxn(C,证明A的不变因子组中的最后一个不变因子恰是A的最小多项式 证设A的初等因子组为(-1),(-入2)2,….、(-λ},则A的特征多项式为 f()=(-)y2(-2)2.(-入s=s 其中 入s中有些是相同的,当入和相同,则去掉(0-严,(-門,中指数较小的 一个,不妨设λ1,22,…,λ4中互不相同,且在{(0-),(-2y2,.0-)严=)对应最大指数, m(x=(x-2)(x-A2)严2.(xA)严J=         0 1 1 0 1 0 0 0 0 ④ λE-A=              4 4 2 2 5 3 1 4 3    →              4 4 2 1 4 3 2 5 3    →               0 2 6 4 0 1/ 2( 4 3) 3/ 2( 1) 2 5 3 2       →             0 2 6 4 0 ( 4 3) ( 1) 1 0 0 2      →            0 2 6 4 0 2 3 5 1 0 0 2     →            0 4 2 6 0 5 2 3 1 0 0 2     →               ) 2 3 15 )( 2 3 15 0 0 ( 3)( 0 5 2 3 1 0 0 2 i i      →            ) 2 3 15 )( 2 3 15 0 0 ( 3)( 0 1 0 1 0 0 i i    ⑤ λE-A=                  17 6 1 7 1 2 1 4 1 0 0 3 1 0 0 →         2 2 0 0 0 ( 1) 0 0 ( 1) 0 0 1 0 0 1 0 0 0   A 的初等因子为{(λ-1) 2，(λ-1) 2}，A 的若当标准形为 J=       0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 3.设 A∈Matn×n(C)．证明 A 的不变因子组中的最后一个不变因子恰是 A 的最小多项式． 证 设 A 的初等因子组为{(λ-λ1) n1，(λ-λ2) n2，... ,(λ-λs) ns}，则 A 的特征多项式为 f(λ)= (λ-λ1) n1(λ-λ2) n2 ...(λ-λs) ns 其中λ1，λ2，...，λs 中有些是相同的，当λi和λj 相同，则去掉(λ-λi) ni，(λ-λj) nj，中指数较小的 一个，不妨设λ1，λ2，...，λt 中互不相同，且在{(λ-λ1) n1，(λ-λ2) n2，... ,(λ-λs) ns}对应最大指数， 令 m(x)= (x-λ1) n1(x-λ2) n2 ...(x-λt) nt