第84讲重积分的应用 363 =‖yc=2y2dy2,dz 2P y(2-6y2)dy= 2P(2y? y)dy P (2)薄片所占据区域D的草图如图84-6所示,设薄片密度为p(常数),则任一点(x,y) ∈D到y=-1的距离为|y+1|,故薄片对y=-1的转动惯量 图84-5 图84-6 =(y+1)pdo=p(y+1)d dr +1)2√ydy=2(y+2y+y)d 2p[ +2y2 368 注意一般地有①设l是一条平面直线则薄片关于轴l的转动惯量为J=d(x y)p(x,y)da,其中d(x,y)是D上点(x,y)到轴l的距离.空间立体』关于空间直线l为 轴的转动惯量为J=a2(x,y,xz)p(x,y,z)dv,其中d(x,yz)是上点(x,y,)到直线l 的距离 例7求半圆环a2≤x2+y2≤62(0<a<b)(y≥0)薄 板对原点(0,0)处质量为M的质点的引力,设板上面密度P= py(p为常数) 解由对称性F4=0 df,kt myrcos9=k+yy (k为引力 √x2+ 常数)=k Mersin6·rddr rsin6(极坐标)= kMusin2'0audr,baO 84-7 kMusin'0dr= 2kMu sin'8de. da 24·(b-a)=kM/(b-a) 例8设在xOy面上有一质量为M的均质半圆形薄片,它占有平面区域:x2+y≤R y≥0,质量为m的质点P位于z轴上z=a的位置,求薄片对质点的引力 解由条件,面积为πR2的薄片质量为M,并且密度均匀,则