高等数学教案 第二章导数与微分 解：y=a, y'"=-1)x2, y"=4(-1)(-2)x3 y+=-1)(2)0-3)4, 一般地，可得 ym=4-1)(-2)·(-+1)x-, 即 (x")m=-1)(-2)·(-n+1)xn. 当=n时，得到 (xm=1)(2)·3·2·1=n!. 而 xm*》-=0】 如果函数=u(x)及=v(x)都在点x处具有n阶导数，那么显然函数ux)士v(x)也在点x处 具有n阶导数，且 (士v)m=m+vw) (w)y'=+W (uw)"='v+2'v'+w", (wy'="v+3"'+3v"+", 用数学归纳法可以证明 (ur)(=Cful-Kv, k=0 这一公式称为莱布尼茨公式， 例8.y=xe2r,求y20 解：设=e2r,=x2,则 (u=2*e2r(k=1,2,…,20), y=2x,"=2,(y)=0(k=3,4,·,20), 代入莱布尼茨公式，得 y20n=(uv)20n=t20.v+C20'n19.y'+C20218.v' =20e2.x2+2021e2.2x+201921e2.2 2 =220e2(x2+20x+95). 小记：学习这部分应注意求f(x)的阶导数时，往往要先利用初等数学方法先将函数化简， 然后再利用已知函数的n阶导数公式与求导法去求。 3