高等数学教案 第二章导数与微分 解：s'=wcos @t,s"=-o2 sin ot. 例3.证明：函数y=√2x-x2满足关系式y3y”+1=0. 证明：因为y222之子 1-x 2-2x y" -2x-x2-0-02N2x-豆 --2x+x2-0-x)2 =1 2x-x2 (2x-x2)W(2x-x2) (2x-x2克 所以y3y"+1=0. 例4.求函数=e的n阶导数. 解；y'=e,y"=e,y"=e,y4=e, 一般地，可得 y(ne, 例5.求正弦函数与余弦函数的n阶导数. 解：y=sinx, y-cos x-sin(, y=cos6x+受=sin(r+受+受=snx+2， 2 y"=cos(x+25)=sin(6x+2.5+5)=sin(x+37), 22 w=cos(x+3受)=sin(x+4。 一般地，可得 rm=sin(c+n罗，即(sinm=sin(r+n 用类似方法，可得((cos.x)=cos(x+n牙). 例6.求对函数ln(1+x)的n阶导数 解：y=n(1+x,y'=(1+x),y”=-(1+x)2, y"=(-1(-2)1+x)3,y4=(-1)(-2)(-3)(1+x), 一般地，可得 y=(-10-2(←+1)1+x"=（←1y-m- 1+x)n 即 a+=器 例6.求幂函数=x(是任意常数)的n阶导数公式. 2