·26· 智能系统学报 第13卷 3.3连续值信息处理的有关情况 x=1-x:xAy=ite[min(x,y)max(x,y)=1;0); 连续值逻辑推理法。1920年波兰学者J.LuCk- xVy ite{max(x,y)min(x.y)=0;1) x→y=ite(yx=1:l) asiewicz提出三值逻辑，1921年美国学者E.L Post提出多值逻辑2，其中包括具有连续值的有界 进一步研究发现，这4个非标准逻辑之间有严 格的大小顺序关系，是连续变化区间中的4个特殊 逻辑：x,y,z∈[0,1]，x=1-xxAy=T[x+y-15xVy= 点，尽管前3个连续值逻辑算子组已由概率论证 T[x+:x→y=T[1-x+y6 明：模糊逻辑算子组在最大相吸相关时成立；概率 其实，在二值逻辑中布尔算子组已有4种形式 逻辑算子组在独立相关时成立：有界逻辑算子组在 不同但是结果等价的计算公式： 最大相斥相关时成立，可以说是有可靠的数学理论 xAy=min(x,y)=xy=Ix+y-1= ite(min(x,y)max(x,y)=1;0] 支撑。唯独突变逻辑算子组没有数学理论依据。但 xvy=max(x,y)=x+y-xy=r[x+y]= 是，我们可以证明，模糊逻辑算子组是柔性信息处 ite max(x,y)min(x,y)=0;1) 理算子组的上极限，突变逻辑算子组是柔性信息处 x→y=ite{llx≤yy=min(l,x/y= I[1-x+y]=ite(ylx=1;1) 理算子组的下极限，所以我们不能轻易否定突变逻 当命题的真值从二值x,y,z∈0,1扩张为连续值 辑算子组的存在价值。而且人们有理由进一步思 x,y,z∈0,1后，由于中间过渡值的参与，这4种原来 考，在这4种逻辑算子的间隙中是否还存在其他的 等价的不同公式计算出来的结果不再等价了，它们 柔性信息处理算子组？这些柔性信息处理算子组都 被分裂为4种不同的连续值逻辑（见图7）。 代表什么逻辑？能在什么情况下使用？ 3.4三角范数理论的启发 1942年K.Menge提出三角范数(triangular norm)概念，主要研究各种算子中不同运算模型应 0 共同满足的抽象定义、一般性质和生成方法，常用 a)指 的连续值域为[0,1]。根据三角范数理论的研究，上 述4个连续值逻辑全部包含于Schweizer算子簇 x,m∈(-o,∞)中。概率论只孤立发现了前3个逻 0 0 辑点(m=-o,0,l),而Schweizer算子簇则包含了连 b)与 续区间me(-o,∞)中的所有逻辑点，其中包括突变 逻辑点m=,以及在这4个特殊逻辑点空隙中间存 在的所有逻辑点2（见图8）。由此可以看出，智能信 (c)或 息处理可以利用Schweizer算子簇将概率论进一步 扩张完善，而且这个扩张完善的空间很大！这一发 现给了我们深人探索下去的勇气，并有了得心应手 的数学工具。 0 0 0 0 模糊逻辑 概率逻辑 有界逻辑 突变逻辑 (d蕴含 4智能信息处理的理论依据是广义概 率论 图74个非标准逻辑引发的思考 Fig.7 Thinking caused by 4 nonstandard logic 41柔性命题的真度是它在因素空间中对应集合 模糊逻辑： 的概率测度 x=1-x;xAy=min(x,y):xVy=max(x.y); 柔性命题的真度与刚性命题的真值有很大差 x→y=ite{llx≤yy} 别，因为标准逻辑是在矛盾对立（分明集合）中确定 概率逻辑： 命题的真值，满足非真即假的理想化约束。而柔性 -x=1-x;xAy=xy;xVy=x+y-xy; x→y=min(1,x/y 逻辑是在矛盾对立统一（柔性集合）中确定柔性命 有界逻辑： 题的真度，满足亦真亦假性，它真假有度，矛盾双方 x=1-x;xAy=T[x+y-1]; 共处一体。所以在柔性命题的真度中，可通过真度 xVy=Tx+y:x→y=T1-x+y 数值的不同变化，来包容辩证矛盾并实现矛盾双方 突变逻辑： 的相互转化。3.3 连续值信息处理的有关情况 x, y,z ∈ [0,1],¬x = 1− x; x∧y = Γ[ x+y−1 ] x∨y = Γ [ x+y ] ; x → y = Γ[ 1− x+y ] 连续值逻辑推理法。1920 年波兰学者 J. Luck￾asiewicz 提出三值逻辑，1921 年美国学者 E.L. Post 提出多值逻辑[25] ，其中包括具有连续值的有界 逻辑： ； 。 其实，在二值逻辑中布尔算子组已有 4 种形式 不同但是结果等价的计算公式： x∧y = min(x, y) = xy = Γ[ x+y−1 ] = ite { min(x, y)|max(x, y) = 1; 0} x∨y = max(x, y) = x+y− xy = Γ[ x+y ] = ite { max(x, y)|min(x, y) = 0; 1} x → y = ite { 1| x ⩽ y; y} = min(1, x/y) = Γ [ 1− x+y ] = ite ( y| x = 1; 1) x, y,z ∈ [0,1] x, y,z ∈ {0,1} 当命题的真值从二值 扩张为连续值 后，由于中间过渡值的参与，这 4 种原来 等价的不同公式计算出来的结果不再等价了，它们 被分裂为 4 种不同的连续值逻辑 (见图 7)。 (a) 䲊 (c) ᝂ (d) 㪠ॗ Ὅㇶ䕧䒽 Ắ⢳䕧䒽 ᰵ⩸䕧䒽 ⾭ऄ䕧䒽 x z 1 0 1 x z 1 0 1 x z 1 0 1 x z 1 0 1 y 1 x z 1 0 1 y 1 x z 1 0 1 y 1 x z 1 0 1 y 1 x z 1 0 1 y 1 x z 1 0 1 y 1 x z 1 0 1 y 1 x z 1 0 1 y 1 x z 1 0 1 y 1 x z 1 0 1 y 1 x z 1 0 1 y 1 x z 1 0 1 y 1 x z 1 0 1 (b) ̺ 图 7 4 个非标准逻辑引发的思考 Fig. 7 Thinking caused by 4 nonstandard logic 模糊逻辑： ¬x = 1− x; x∧y = min(x, y); x∨y = max(x, y); x → y = ite { 1| x ⩽ y; y} 概率逻辑： ¬x = 1− x; x∧y = xy; x∨y = x+y− xy; x → y = min(1, x/y) 有界逻辑： ¬x = 1− x; x∧y = Γ[ x+y−1 ] ; x∨y = Γ[ x+y ] ; x → y = Γ[ 1− x+y ] 突变逻辑： ¬x = 1− x; x∧y = ite { min(x, y)|max(x, y) = 1; 0} ; x∨y = ite { max(x, y)|min(x, y) = 0; 1} ; x → y = ite ( y| x = 1; 1) 进一步研究发现，这 4 个非标准逻辑之间有严 格的大小顺序关系，是连续变化区间中的 4 个特殊 点，尽管前 3 个连续值逻辑算子组已由概率论证 明：模糊逻辑算子组在最大相吸相关时成立；概率 逻辑算子组在独立相关时成立；有界逻辑算子组在 最大相斥相关时成立，可以说是有可靠的数学理论 支撑。唯独突变逻辑算子组没有数学理论依据。但 是，我们可以证明，模糊逻辑算子组是柔性信息处 理算子组的上极限，突变逻辑算子组是柔性信息处 理算子组的下极限，所以我们不能轻易否定突变逻 辑算子组的存在价值。而且人们有理由进一步思 考，在这 4 种逻辑算子的间隙中是否还存在其他的 柔性信息处理算子组？这些柔性信息处理算子组都 代表什么逻辑？能在什么情况下使用？ 3.4 三角范数理论的启发 [0,1] x m ,m ∈ (−∞,∞) (m = −∞,0,1) m ∈ (−∞,∞) m = ∞ 1942 年 K. Menge 提出三角范数 (triangular norm) 概念，主要研究各种算子中不同运算模型应 共同满足的抽象定义、一般性质和生成方法，常用 的连续值域为 。根据三角范数理论的研究，上 述 4 个连续值逻辑全部包含于 Schweizer 算子簇 中。概率论只孤立发现了前 3 个逻 辑点 ，而 Schweizer 算子簇则包含了连 续区间 中的所有逻辑点，其中包括突变 逻辑点 ，以及在这 4 个特殊逻辑点空隙中间存 在的所有逻辑点[26] (见图 8)。由此可以看出，智能信 息处理可以利用 Schweizer 算子簇将概率论进一步 扩张完善，而且这个扩张完善的空间很大！这一发 现给了我们深入探索下去的勇气，并有了得心应手 的数学工具。 4 智能信息处理的理论依据是广义概 率论 4.1 柔性命题的真度是它在因素空间中对应集合 的概率测度 柔性命题的真度与刚性命题的真值有很大差 别，因为标准逻辑是在矛盾对立 (分明集合) 中确定 命题的真值，满足非真即假的理想化约束。而柔性 逻辑是在矛盾对立统一 (柔性集合) 中确定柔性命 题的真度，满足亦真亦假性，它真假有度，矛盾双方 共处一体。所以在柔性命题的真度中，可通过真度 数值的不同变化，来包容辩证矛盾并实现矛盾双方 的相互转化。 ·26· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷