第1期 何华灿：泛逻辑学理论一机制主义人工智能理论的逻辑基础 ·25· 3)布尔信息处理的完备性分析 要通过组合运算z=(xAy)V(xAy)来实现，9号模式 可以以二元信息处理为例来讨论而不失一般 是“=模式”，它需要通过组合运算z=(xVy)A(yVx) 性，因为3元信息处理可由两个二元信息处理来完 来实现。同样的，在M-P模型中要利用两层神经元 成f(x,y,)=ff(x,y,,四元信息处理也可由两个二 来实现，其中6号模式是z=(x→y)A0y→x)=1- 元信息处理来完成f(x,y,乙，w)=ff(xy,f(亿，w)等。 「[-x+y+1]+T[x-y+1]-1)=x-y,9号模式是 在二元信息处理中总共只有16种不同的处理模式 z=(x→y)A(y→x)=T[-x+y+1]+T[x-y+1]-1]= (0号模式~15号模式)，因为x、y两个布尔变量只有 1-x-。现在看来它们在神经网络中是不难实现 4个不同的状态组合(00,01,10,11)。每一个状态 的，遗憾的是1969年M.L.Minsky和S.Papert在 组合又可以分别与输出z=0或？=1对应，形成 Perceptrons叫一书中根据这两个特殊模式的存在而 42=16个不同的信息处理模式。这些模式都可以用 轻易地否定了M-p模型的有效性，由于M.L.Minsky 布尔逻辑算子组来描述，也可以用M-P模型来描述 在学术界的巨大影响力，致使神经网络的研究一度 (见图6)。需要说明的是，6号模式是“≠模式”，它需 陷入低潮，延误神经网络发展达几十年之久。 关系模式分类 关系模式分类的一般标准 神经元描述 逻辑描述 z=T[ax+by-e) 0=(0,0:0=(0,1方0=(1,0：0=(1,1) Z=0 <a,b.e>=<0.0,0> Z=0 恒假 ⊙ 1=(0.0):0=(0.1)50=(1,0):0=(1,1) Zsmin ((1-x),(1-v)) <a,b,e>=<-1-1,-1> Z=-(xvy) 非或 ② 0=0,0:1=0,1):0=(1,0):0=(1,1) Zsmin ((1-x),y) <a.b,e>=<-1,1,0> Z=-0-x) 非蕴含2 ③ 1=(0,0:1=(0,1):0=(1,0):0=(1,1) Z=(1-x <a,b,e>=<-1,0,-1 Z=-x 非x ④ 0=(0,0):0=(0,1):1=(1,0):0=(1,1) Z≤min(x,(1-y) <a,b,e>=<l,-1,0> Z=-(x-y) 非蕴含1 ⑤ 1=(0,0:0=(0,1)51=(1,0):0=(1,1) Z=(1-y) <ab,e>=<0,-1,-12 Z=-y 非y ⑥ 0=(0,0):1=0,1):1=(1,0):0=(1,1) Z=- 组合实现一川 Z=-x-y) 非等价 ① 1=(0,0):1=(0,1):1=(1,0:0=(1,1) Z≥max(1-x),(1-y) <a,b,e>=<-1,-1,2> Z=-(xAy) 非与 ⑧ 0=(0,0):0=(0,1)50=(1,0)；1=(1,1) Z≤min(x,y) <a,b,e>=<1,1,1> Z=xAy 与 ⑨ 1=(0,0:0=(0,150=(1,0):1=(1,1) Z=1--y 组合实现1--川 Z=x-y 等价 ⑩ 0=(0,0:1=(0,1):0=(1,0:1=(1,1) Z=y <a,b,e>=<0,1,0> Z=y y ① 1=0,0):1=(0,1):0=(1,0):1=(1,1) Z≥max(1-x),y) <a,b,e>=<-l,1,-1> Z=x-y 蕴含1 @ 0=(0,0):0=0,1):1=(1,0):1=(1,1) Z=x <a,b,e>=<1,0,0 Z=x x ③ 1=(0,0):0=(0,1):1=(1,0):1=(1,1) Z≥maxx,(1-y) <a,b,e>=<1,-1,-1> Z=y-x 蕴含2 ©④ 0=(0,0):1=(0,1):1=(1,0)；1=(1,1) Z≥max(x,y) <a,b,e>=<l,1,0> Z=rvy 或 1=(0,0):1=(0,1):1=(1,0):1=(1,1) Z=1 <a,b,e>=<1,1,-1> Z=1 恒其 图6布尔信息处理的完备性分析 Fig.6 Completeness analysis of Boolean information processing 4)布尔信息处理的最基本模式分析 (a,b,e)组成的状态编码反映了16种信息处理模式 从图6还可以看出，布尔逻辑算子组（一，Λ，V,→} 的内在属性Γ[ar+by-e,在两类方法中都可以作为 并不是由最基本信息处理模式组成的，其中包含的 区分不同信息处理模式的标志码。所以本文将集中 是常用的模式，它们可进一步由最基本的模式来表 讨论逻辑推理法，其结论可以一一对应地推广到神 示。例如，用11号模式“→”就可以表示x=x→0， 经元变换法中。可见，在传统观念中把神经网络法 xAy=(x→y→0)→0，xVy=(x→0)→y,这种表示 与逻辑推理法对立起来看是没有道理的。 方法在理论证明中经常使用。而在集成电路设计 上面就是基于标准逻辑推理法和二值神经元 中，为了基础门电路单一化，常用1号模式（与非） 信息变换法的刚性信息处理范式的概貌，它们是 或7号模式（或非）来表示其他各种模式。 完备的。基于柔性逻辑推理法和基于柔性神经元 可见在布尔信息处理中有两类方法：一类是标 信息变换法的柔性信息处理范式将在它们的基础 准逻辑推理法，另一类是布尔神经元信息变换法。 上通过放开某些约束条件，引入相应的不确定性来 两者相互等价，是一一对应的关系。由模式参数 实现。3) 布尔信息处理的完备性分析 f (x, y,z) = f(f (x, y,z) f (x, y,z,w) = f (f (x, y), f (z,w)) x y z = 0 z = 1 4 2 = 16 M−P 可以以二元信息处理为例来讨论而不失一般 性，因为 3 元信息处理可由两个二元信息处理来完 成 ，四元信息处理也可由两个二 元信息处理来完成 等。 在二元信息处理中总共只有 16 种不同的处理模式 (0 号模式～15 号模式)，因为 、 两个布尔变量只有 4 个不同的状态组合 (00, 01, 10, 11)。每一个状态 组合又可以分别与输出 或 对应，形成 个不同的信息处理模式。这些模式都可以用 布尔逻辑算子组来描述，也可以用 模型来描述 (见图 6)。需要说明的是，6 号模式是“≠模式”，它需 z = (x∧ ¬y)∨(¬x∧y) z = (¬x∨y)∧(¬y∨ x) M−P z = ¬((x → y)∧(y → x)) = 1− Γ[Γ[− x+y+1]+Γ[ x−y+1]−1] = |x−y| z = (x → y)∧(y → x)=Γ[Γ [ −x+y+1 ] +Γ[ x−y+1 ] −1] 1−|x−y| M−P 要通过组合运算 来实现，9 号模式 是“=模式”，它需要通过组合运算 来实现。同样的，在 模型中要利用两层神经元 来实现，其中 6 号模式是 ，9 号模式是 = 。现在看来它们在神经网络中是不难实现 的，遗憾的是 1969 年 M. L. Minsky 和 S. Papert 在 Perceptrons[24]一书中根据这两个特殊模式的存在而 轻易地否定了 模型的有效性，由于 M. L. Minsky 在学术界的巨大影响力，致使神经网络的研究一度 陷入低潮，延误神经网络发展达几十年之久。 ڟ㈧Ὅᐻܲㆧ ڟ㈧Ὅᐻܲㆧ⮰̬㝘ᴳ۲ ⺊㏻ٯ᣻䔜 䕧䒽᣻䔜 z=Γ[ax+by−e] 0 0=(0,0); 0=(0,1); 0=(1,0); 0=(1,1) Zį0 <a, b, e>=<0, 0, 0> Zį0 ᕾճ 2 0=(0,0); 1=(0,1); 0=(1,0); 0=(1,1) Zİmin ((1−x), y) <a, b, e>=<−1, 1, 0> Z=¬(yėx) 䲊㪠ॗ2 3 1=(0,0); 1=(0,1); 0=(1,0); 0=(1,1) Z=(1−x) <a, b, e>=<−1, 0, −1> Z=¬x 䲊x 4 0=(0,0); 0=(0,1); 1=(1,0); 0=(1,1) Zİmin (x, (1−y)) <a, b, e>=<1, −1, 0> Z=¬(xėy) 䲊㪠ॗ1 5 1=(0,0); 0=(0,1); 1=(1,0); 0=(1,1) Z=(1−y) <a, b, e>=<0, −1, −1> Z=¬y 䲊y 6 0=(0,0); 1=(0,1); 1=(1,0); 0=(1,1) Z=|x−y| ㏰ऴ჊⣜|x−y| Z=¬(x↔y) 䲊ふУ 7 1=(0,0); 1=(0,1); 1=(1,0); 0=(1,1) Zımax ((1−x), (1−y)) <a, b, e>=<−1, −1, 2> Z=¬(xġy) 䲊̺ 9 1=(0,0); 0=(0,1); 0=(1,0); 1=(1,1) Z=1−|x−y| ㏰ऴ჊⣜1−|x−y| Z=x↔y ふУ 10 0=(0,0); 1=(0,1); 0=(1,0); 1=(1,1) Z=y <a, b, e>=<0, 1, 0> Z=y y 11 1=(0,0); 1=(0,1); 0=(1,0); 1=(1,1) Zımax ((1−x), y) <a, b, e>=<−1, 1, −1> Z=xėy 㪠ॗ1 12 0=(0,0); 0=(0,1); 1=(1,0); 1=(1,1) Z=x <a, b, e>=<1, 0, 0> Z=x x 13 1=(0,0); 0=(0,1); 1=(1,0); 1=(1,1) Zımax (x, (1−y)) <a, b, e>=<1, −1, −1> Z=yėx 㪠ॗ2 0=(0,0); 1=(0,1); 1=(1,0); 1=(1,1) Zımax (x, y) <a, b, e>=<1, 1, 0> Z=xĢy ᝂ 15 1=(0,0); 1=(0,1); 1=(1,0); 1=(1,1) Zį1 <a, b, e>=<1, 1, −1> Zį1 ᕾⱋ 14 1 1=(0,0); 0=(0,1); 0=(1,0); 0=(1,1) Zİmin ((1−x), (1−y)) <a, b, e>=<−1, −1, −1> Z=¬(xĢy) 䲊ᝂ 8 0=(0,0); 0=(0,1); 0=(1,0); 1=(1,1) Zİmin (x, y) <a, b, e>=<1, 1, 1> Z=xġy ̺ 图 6 布尔信息处理的完备性分析 Fig. 6 Completeness analysis of Boolean information processing 4) 布尔信息处理的最基本模式分析 {¬,∧,∨,→} ¬x = x → 0 x∧y = (x → (y → 0)) → 0, x∨y = (x → 0) → y, 从图 6 还可以看出，布尔逻辑算子组 并不是由最基本信息处理模式组成的，其中包含的 是常用的模式，它们可进一步由最基本的模式来表 示。例如，用 11 号模式“→”就可以表示 ， 这种表示 方法在理论证明中经常使用。而在集成电路设计 中，为了基础门电路单一化，常用 1 号模式 (与非) 或 7 号模式 (或非) 来表示其他各种模式。 可见在布尔信息处理中有两类方法：一类是标 准逻辑推理法，另一类是布尔神经元信息变换法。 两者相互等价，是一一对应的关系。由模式参数 ⟨a,b, e⟩ Γ [ ax+by−e ] 组成的状态编码反映了 16 种信息处理模式 的内在属性 ，在两类方法中都可以作为 区分不同信息处理模式的标志码。所以本文将集中 讨论逻辑推理法，其结论可以一一对应地推广到神 经元变换法中。可见，在传统观念中把神经网络法 与逻辑推理法对立起来看是没有道理的。 上面就是基于标准逻辑推理法和二值神经元 信息变换法的刚性信息处理范式的概貌，它们是 完备的。基于柔性逻辑推理法和基于柔性神经元 信息变换法的柔性信息处理范式将在它们的基础 上通过放开某些约束条件，引入相应的不确定性来 实现。 第 1 期 何华灿：泛逻辑学理论——机制主义人工智能理论的逻辑基础 ·25·