命题设a1,a2…,an∈Km,则下述两条等价 …an线性相关; 2)某个a,可被其余向量线性表示 证明1)→2).由于a1,∝2…,∝n线性相关,故存在不全为零的n个数 k1,k2,…kn∈K,使得 k,a,+k, +k.a.=0 不妨设某个k1≠0。于是,由向量空间的性质有 a1=(-k1/k1x1+(-k2/k1)2+…+(-k1/k)a-1+(-k/k1)a1+…+(-kn/k)an 2)→1).如果某个a1可被其余向量线性表示,即存在k1,…k1,k12…,k∈K,使 a1=k2a1+k2a2+…+k-11+k+(1+…+knan 由向量空间的性质有 ka1+k2a2+…+k-a-1+(-1)x1+k1a1+1+…+knan=0 于是a1,a2…an线性相关。证毕 推论设a1,a2,…,an∈K",则下述两条等价 线性无关 2)任一a1不能被其余向量线性表示命题 设 m 1 , 2 ,  , n  K ，则下述两条等价： 1）    n , , , 1 2  线性相关； 2）某个  i 可被其余向量线性表示。 证 明 1）  2 ） . 由 于    n , , , 1 2  线性相关，故存在不全为零的 n 个 数 k1 , k2 , kn  K ，使得 k11 + k2 2 +......+ kn n = 0。 不妨设某个 ki  0 。于是，由向量空间的性质有 i i i i i i i i i n i n  = (−k1 / k )1 + (−k2 / k ) 2 ++ (−k −1 / k ) −1 + (−k +1 / k ) +1 ++ (−k / k ) 2）  1）. 如果某个  i 可被其余向量线性表示，即存在 k1 , ki−1 ,ki+1 ,  ,kn K ，使 得 i i i i i n n  = k11 + k2 2 ++ k −1 −1 + k +1 +1 ++ k  . 由向量空间的性质有 k11 + k2 2 ++ ki−1i−1 + (−1)i + ki+1i+1 ++ kn n = 0 . 于是    n , , 1 2 线性相关。证毕。 推论 设 m 1 , 2 ,  , n  K ，则下述两条等价： 1）    n , , 1 2 线性无关； 2）任一  i 不能被其余向量线性表示