(3)向量(0,0.,0)(记为0)具有性质:对于任意a,有0+a=a+0 (4)a=(a1,a2,…,an),令-a=(-a1-a2,…-an),称其为a的负向量,它满 足a+(-a)=(-a)+a=0 (5)对于数1,有1a=a (6)对K内任意数k,l,有(kOa=k(la) (7)对K内任意数k,1,有(k+Da=ka+la; (8)对K内任意数k,有k(a+B)=ka+kB 212线性组合和线性表出的定义 定义(线性组合)设a1,a2,…,a,∈Km,k1,k2,…k,∈K,则称向量 k1a1+k2a2+……ka,为向量组a1,a2…,a,的一个线性组合 定义(线性表示)设a1,a2,…,a1,B∈Km。如果存在k1,k2…k,∈K,使得 B=k,a,+k2a2 则称B可被向量组a1,a2…,a,线性表示 213向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述 定义(线性相关与线性无关)设α1,α2…,a,∈Km。如果存在不全为零的 k1,k2,…,k,∈K,使得 a1+k,a,+ 0 则称a1,2…a,线性相关,否则称为线性无关 注意:根据这个定义,a1,a2…,C,线性无关可以表述如下:若k1,k2…,k,∈K,使 得k1a1+k2a2+……+ka=0,则必有k1=k2=…=k,=0。 如果 2n 显然a1,C2…,a,线性相关当且仅当齐次线性方程组 a11+a12x2+…+a1nx=0 tax+ 0 有非零解,《12a2,…线性无关当且仅当此齐次线性方程组只有零解。（3） 向量（0,0,……,0）（记为 0 ）具有性质：对于任意  ，有 0 + = + 0 ； （4） ( , , , )  = a1 a2  am ，令 ( , , , ) − = −a1 −a2  −am ，称其为  的负向量，它满 足  + (−) = (−) + = 0 ； （5） 对于数 1，有 1 =  （6） 对 K 内任意数 k , l ，有 (kl) = k(l) ； （7） 对 K 内任意数 k , l ，有 (k + l) = k + l ； （8） 对 K 内任意数 k ，有 k( +  ) = k + k 。 2.1.2 线性组合和线性表出的定义 定 义 （线性组合） 设    s , , , 1 2   m K ， k1 ,k2 ,  ,ks  K ，则称向量 s s k11 + k2 2 +......k  为向量组    s , , , 1 2  的一个线性组合。 定义（线性表示） 设    s , , , 1 2  ，   m K 。如果存在 k1 ,k2 ,  ,ks  K ，使得 s s  = k11 + k22 +......+ k  ， 则称  可被向量组    s , ,......, 1 2 线性表示。 2.1.3 向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述 定义 （线性相关与线性无关） 设    s , , , 1 2   m K 。如果存在不全为零的 k1 ,k2 ,  ,ks  K ，使得 k11 + k22 +......+ ks s = 0 ， 则称    s , , , 1 2  线性相关，否则称为线性无关。 注意：根据这个定义，    s , , , 1 2  线性无关可以表述如下：若 k1 ,k2 ,  ,ks  K ，使 得 k11 + k22 +......+ ks s = 0 ，则必有 k1 = k2 == ks = 0 。 如果             =             =             = mn n n m m a a a a a a a a a     2 1 1 2 22 12 2 1 21 11 1  ,  , ,  ， 显然    s , , , 1 2  线性相关当且仅当齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ...... 0, ...... 0, ...... ...... 0. n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =     + + + = 有非零解，    s , , , 1 2  线性无关当且仅当此齐次线性方程组只有零解