2)当J=1时 25是椭球面 例6设二次型 f=x2+x2+x3+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3 经正交变换X=PY化成f=y2+2y 其中,X=(x1x2,x3),Y=(y2y3),P是三阶正交矩阵试求常数ab 解二次型f经变换X=PY前后的矩阵分别为 A=a 1 b B= 1 6 000 故二次型f可写为 f=X AX=r Br 由于PAP=B且P为正交矩阵,故P=P且PAP=B, 因此 JE-AZE-B 0 aλ-1-b=0A-10 13-32+(2-a2-b2)+(a-b)2=-3x2+22 由此式可得a=b=0为所求的常数 例7对一般的n元实二次型f=XAx,证明:f在条件x+x2+…+x2=1下的最大值 不超过矩阵A的最大特征值 证对于n元实二次型J=XAX,存在正交变换X=P使二次型化为标准形: f=XAX=YPAP=A1y+2y2+…+λ2y2 其中列2…加是A的特征值.设A的最大特征值为,则由（2）当 f =1 时, 1 5 1 2 1 1 2 2 2 + + = x y z 是椭球面. 例 6 设二次型 1 2 2 3 1 3 2 3 2 2 2 f = x1 + x + x + 2ax x + 2bx x + 2x x 经正交变换 X = PY 化成 2 3 2 f = y2 + 2y . 其中, T T X (x , x , x ) , Y ( y , y , y ) = 1 2 3 = 1 2 3 , P 是三阶正交矩阵. 试求常数 a, b. 解 二次型 f 经变换 X = PY 前后的矩阵分别为           = 1 1 1 1 1 b a b a A           = 0 0 2 0 1 0 0 0 0 B 故二次型 f 可写为 f X AX Y BY T T = = 由于 P AP B T = 且 P 为正交矩阵, 故 −1 P = P T 且 P AP = B −1 , 因此 | E − A |=| E − B | 即 0 0 2 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 − = − − − − − − − − − −       b a b a  3 (2 ) ( )  3 2 3 2 2 2 2 3 2 − + −a −b + a −b = − + 由此式可得 a = b = 0 为所求的常数. 例 7 对一般的 n 元实二次型 f X AX T = , 证明：f 在条件 1 2 2 2 2 x1 + x ++ xn = 下的最大值 不超过矩阵 A 的最大特征值. 证 对于 n 元实二次型 f X AX T = , 存在正交变换 X = PY 使二次型化为标准形： 2 2 2 2 2 1 1 n n T T T f = X AX =Y P APY =  y +  y ++  y 其中   n , , , 1 2  是 A 的特征值. 设 A 的最大特征值为 0 , 则由