·122· 智能系统学报 第13卷 布在Pareto前沿上的解，P为算法所求得的非支 表2双环管网优化结果 配解，d(x,P)代表解x与P中解的最小欧式距 Table 2 Optimization results for two-loop network 离。如果P中解的数量足够多，IGD在一定程度 优化算法 IGD GD SP 上能同时反映解的多样性和收敛性。IGD的值越 小，算法所得解的多样性和收敛性越好。 均值 1.390×10 6.200×103 2.220×102 RVSPEA2 ∑dx,P) 方差 2.000×10 6.830x10 2.540x102 IGD(P*,P)= IE (15) 4.290×10 P 均值 9.100x103 4.470x102 SPEA2 2)GD(generational distance) 方差 7.700×103 1.500×103 8.500x103 GD的定义如式(16)所示，其用于计算非支 均值7.950×102 1.320×102 2.740x102 配解与Pareto前沿之间的距离。GD的值越小，算 NSGA-II 方差3.870×102 4.900x103 1.900x103 法所得解的收敛性越好。 均值3.662×10 3.880×102 3.560x102 ∑dx,P) MOEA/D 方差2.725×1043.800x103 8.400×103 GD(P.P)= (16) IPI 与本文提出的RVSPEA2算法优化纽约管网的结 3)SP(spacing)20 果。从表3中可以看出，本文提出的RVSPEA2算 SP用于计算非支配解中相邻解之间距离的 法在IGD、GD和SP这3个指标的均值上，都优 方差，其公式如式(17)： 于其他算法。因此，在纽约管网问题上， SP= 2a-明 (17) RVSPEA2算法所得解的多样性和收敛性也优于 SPEA2、NSGA-II和MOEA/D算法。 d;min 18) 表3纽约管网优化结果 Table 3 Optimization result for New York tunnels network 式中：f:为第i个非支配解的第k个目标值，d为所 优化算法 IGD GD SP 有d,的均值，n为算法所求得非支配解的个数。 SP的值越小，算法所得解的多样性越好。 均值3.460×102 6.600x103 1.680x102 RVSPEA2 对于双环管网问题，RVSPEA2算法具体参数 方差3.900×102 2.000×103 2.360x102 设置如表1所示，为了公平对比，SPEA2、NSGA-Ⅱ 均值4.550×102 7.500×10 3.380×102 和MOEA/D的参数设置与本文所提算法相同，每 SPEA2 方差1.630×102 7.250x103 2.700x103 种算法均独立运行30次。表2列出了SPEA2、NSGA-Ⅱ、 均值 1.631 9.290×102 3.100x101 MOEA/D与本文提出的RVSPEA2算法优化双环 NSGA-II 管网的结果。从表2中可以看出，在IGD、GD和SP 方差3.136×10 1.330×102 5.800x102 3个指标的均值上，本文提出的RVSPEA2算法都 均值4.293×10 1.100×102 8.400x10 MOEA/D 优于其他算法，说明在双环管网问题上，RVSPEA2 方差5.446×104 4.320×10 3.900x102 算法所得解的多样性和收敛性最好。 通过双环管网和纽约管网的测试，验证了本 表1双环管网和纽约管网参数设置 Table 1 Parameters of two-loop network and New York 文提出的RVSPEA2算法在解决管网多目标优化 tunnels network 设计上的性能。 参数 双环管网 纽约管网 3工程实例 种群大小 300 300 进化代数 800 800 现将RVSPEA2算法应用于实际管网中。本 交叉概率 实例为北京市某高校给水管网设计工程，管网布 1.0 1.0 变异概率 局如图5所示，管网中有1个水源、43个节点和 1/8 1/20 60条管线。RVSPEA2算法参数设置如表4所 对于纽约管网问题，RVSPEA2算法具体参数 示。图6画出了RVSPEA2算法所求出的非支配 设置如表1所示，SPEA2、NSGA-Ⅱ和MOEA/D的 解。在实际工程应用中，应根据实际工程情况和 参数设置与RVSPEA2算法相同，每种算法均独 决策者的经验，在保证供水基本可靠及居民正常 立运行30次。表3列出了SPEA2、NSGA-Ⅱ、MOEA/D 用水的情况下，合理地选择一个施工方案。针对布在 Pareto 前沿上的解，P 为算法所求得的非支 配解，d(x, P) 代表解 x 与 P 中解的最小欧式距 离。如果 P *中解的数量足够多，IGD 在一定程度 上能同时反映解的多样性和收敛性。IGD 的值越 小，算法所得解的多样性和收敛性越好。 IGD(P ∗ ,P) = ∑ x∈P∗ d(x,P) |P∗ | (15) 2) GD(generational distance)[19] GD 的定义如式 (16) 所示，其用于计算非支 配解与 Pareto 前沿之间的距离。GD 的值越小，算 法所得解的收敛性越好。 GD(P,P ∗ ) = √∑ x∈P d(x,P∗ ) 2 |P| (16) 3) SP(spacing)[20] SP 用于计算非支配解中相邻解之间距离的 方差，其公式如式 (17)： SP = vt 1 n−1 ∑n i=1 ( d¯−di )2 (17) di = min   ∑m k=1    f i k (x)− f j k (x)      , i, j = 1,2,···,n (18) f i k 式中： 为第 d¯ i 个非支配解的第 k 个目标值， 为所 有 di 的均值，n 为算法所求得非支配解的个数。 SP 的值越小，算法所得解的多样性越好。 对于双环管网问题，RVSPEA2 算法具体参数 设置如表 1 所示，为了公平对比，SPEA2、NSGA-II 和 MOEA/D 的参数设置与本文所提算法相同，每 种算法均独立运行30次。表2列出了SPEA2、NSGA-II、 MOEA/D 与本文提出的 RVSPEA2 算法优化双环 管网的结果。从表 2 中可以看出，在 IGD、GD 和 SP 3 个指标的均值上，本文提出的 RVSPEA2 算法都 优于其他算法，说明在双环管网问题上，RVSPEA2 算法所得解的多样性和收敛性最好。 表 1 双环管网和纽约管网参数设置 Table 1 Parameters of two-loop network and New York tunnels network 参数 双环管网 纽约管网 种群大小 300 300 进化代数 800 800 交叉概率 1.0 1.0 变异概率 1/8 1/20 对于纽约管网问题，RVSPEA2 算法具体参数 设置如表 1 所示，SPEA2、NSGA-II 和 MOEA/D 的 参数设置与 RVSPEA2 算法相同，每种算法均独 立运行 30 次。表 3 列出了 SPEA2、NSGA-II、MOEA/D 与本文提出的 RVSPEA2 算法优化纽约管网的结 果。从表 3 中可以看出，本文提出的 RVSPEA2 算 法在 IGD、GD 和 SP 这 3 个指标的均值上，都优 于其他算法。因此，在纽约管网问题上， RVSPEA2 算法所得解的多样性和收敛性也优于 SPEA2、NSGA-II 和 MOEA/D 算法。 表 3 纽约管网优化结果 Table 3 Optimization result for New York tunnels network 优化算法 IGD GD SP RVSPEA2 均值 3.460×10-2 6.600×10-3 1.680×10-2 方差 3.900×10-2 2.000×10-3 2.360×10-2 SPEA2 均值 4.550×10-2 7.500×10-3 3.380×10-2 方差 1.630×10-2 7.250×10-3 2.700×10-3 NSGA-II 均值 1.631 9.290×10-2 3.100×10-1 方差 3.136×10-1 1.330×10-2 5.800×10-2 MOEA/D 均值 4.293×10-1 1.100×10-2 8.400×10-1 方差 5.446×10-4 4.320×10-4 3.900×10-2 通过双环管网和纽约管网的测试，验证了本 文提出的 RVSPEA2 算法在解决管网多目标优化 设计上的性能。 3 工程实例 现将 RVSPEA2 算法应用于实际管网中。本 实例为北京市某高校给水管网设计工程，管网布 局如图 5 所示，管网中有 1 个水源、43 个节点和 60 条管线。RVSPEA2 算法参数设置如表 4 所 示。图 6 画出了 RVSPEA2 算法所求出的非支配 解。在实际工程应用中，应根据实际工程情况和 决策者的经验，在保证供水基本可靠及居民正常 用水的情况下，合理地选择一个施工方案。针对 表 2 双环管网优化结果 Table 2 Optimization results for two-loop network 优化算法 IGD GD SP RVSPEA2 均值 1.390×10-2 6.200×10-3 2.220×10-2 方差 2.000×10-3 6.830×10-4 2.540×10-2 SPEA2 均值 4.290×10-2 9.100×10-3 4.470×10-2 方差 7.700×10-3 1.500×10-3 8.500×10-3 NSGA-II 均值 7.950×10-2 1.320×10-2 2.740×10-2 方差 3.870×10-2 4.900×10-3 1.900×10-3 MOEA/D 均值 3.662×10-1 3.880×10-2 3.560×10-2 方差 2.725×10-4 3.800×10-3 8.400×10-3 ·122· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷