微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 r(r+Dloe. n0 Drs=(a//os art amin )(e) dEB Os(B)a(41)a(4+) de 1 ax r!(r+1)! (E) 06(41) ()d"∧ds ∧……∧ds (+1∑=((”次)uAn(a /ax 1 azir r(,B()(B)( deA IM…Ad 次()(次 (E)dB∧d11∧…∧dAr 产6()个人 Va∈P 1 airi(E) a r A-(5)ds ads 另有 d( F*更)=d ()d∈41∧…∧d ( d(a asB(S/a(cAl . cAr) ()dBAd4∧…∧d4r 综上,有F*(d)=d(F更),更∈AT(TM) 对此性质的证明,另可考虑 (1)2B)a(∈41,…,( de IA…Ad 1>-(m)cB(E) (r!)2 ars A,…,+)()d"Ad"A…Ad4 ro(in) axa(ir) )>sino 0(B)a(4 04)(()d(A) d51(4+),∈P+1微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 = 1 r!(r + 1)!   ∑ σˆ∈Pr+1 sgnσˆ ∂Φi1···ir ∂xs (x) ( ∂xs ∂ξσˆ(B) ∂xi1 ∂ξσˆ(A1) · · · ∂xir ∂ξσˆ(Ar) ) (ξ)   dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 r!(r + 1)! ∑ σˆ∈Pr+1 sgnσˆ ∂Φi1···ir ∂ξσˆ(B) (ξ) ( ∂xi1 ∂ξσˆ(A1) · · · ∂xir ∂ξσˆ(Ar) ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 r!(r + 1)! ∑ σˆ∈Pr+1 sgnσˆ ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) ( ∂xi1 ∂ξA1 · · · ∂xir ∂ξAr ) (ξ)dξ σˆ−1 (B) ∧ dξ σˆ−1 (A1) ∧ · · · ∧ dξ σˆ−1 (Ar) = 1 r!(r + 1)! ∑ σˆ∈Pr+1 ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) ( ∂xi1 ∂ξA1 · · · ∂xir ∂ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 r! ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) ( ∂xi1 ∂ξA1 · · · ∂xir ∂ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 r! ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) ( ∂xi1 ∂ξσ(A1) · · · ∂xir ∂ξσ(Ar) ) (ξ)dξ B ∧ dξ σ(A1) ∧ · · · ∧ dξ σ(Ar) , ∀ σ ∈ Pr = 1 (r!)2 ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) (∑ σ∈Pr sgnσ ( ∂xi1 ∂ξσ(A1) · · · ∂xir ∂ξσ(Ar) ) (ξ) ) dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 (r!)2 ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar , 另有 d(F ∗Φ) = d ( 1 (r!)2 Φi1···ir ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar ) = 1 (r!)2 ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar . 综上, 有 F ∗ (dΦ) = d(F ∗Φ), ∀ Φ ∈ Λ r (TM). 对此性质的证明, 另可考虑 1 (r!)2 ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 (r!)2 ∂Φi1···ir ∂xs (x) ∂xs ∂ξB (ξ) ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 (r!)2 ∂Φi1···ir ∂xs (x) [∑ σ∈Pr sgnσ ∂xs ∂ξB (ξ) ∂xσ(i1) ∂ξA1 · · · ∂xσ(ir) ∂ξAr (ξ) ] dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 (r!)2 ∂Φi1···ir ∂xs (x) ∑ σ∈Pr sgnσ ( ∂xs ∂ξγˆ(B) ∂xσ(i1) ∂ξγˆ(A1) · · · ∂xσ(ir) ∂ξγˆ(Ar) ) (ξ)dξ γˆ(B) ∧ dξ γˆ(A1) ∧ · · · ∧ dξ γˆ(Ar) , ∀ γˆ ∈ Pr+1 5